Добрый день, подскажите пожалуйста.

|z|<=|Im(z^2)|<=2

Необходимо изобразить множества точек комплексной плоскости. Подскажите в какую сторону думать. Спасибо!

задан 9 Дек '13 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Представим число $%z=x+iy$% в алгебраической форме, где $%x,y\in{\mathbb R}$%. Модуль числа $%z$% равен $%|z|=\sqrt{x^2+y^2}$%. Возводя $%z$% в квадрат, получаем $%z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi$%, где мнимая часть, то есть коэффициент при $%i$%, есть $%2xy$%. В условии задачи берётся модуль этой мнимой части. Получается такое двойное неравенство: $$\sqrt{x^2+y^2}\le2|xy|\le2.$$ Теперь надо понять, какое множество точек плоскости будет множеством решений такого неравенства. Ясно, что точка $%(x;y)=(0;0)$% подходит. Также ясно, что вместе с каждым решением $%(x;y)$% такого неравенства, точки $%(\pm x;\pm y)$% также будут решениями при любом выборе знаков. Из $%y=0$% будет следовать, что $%x=0$%, и наоборот. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда $%x > 0$%, $%y > 0$% (первая координатная четверть), а всё остальное симметрично отразить.

Первое неравенство будет равносильно возведённому в квадрат, то есть $%x^2+y^2\le4x^2y^2$%. Его можно переписать в виде $%(x^2-1/4)(y^2-1/4)\ge1/16$%. Оба сомножителя в левой части имеют одинаковые знаки. Если бы они оба были отрицательны, получилось бы противоречие за счёт того, что произведение положительных чисел $%1/4-x^2$% и $%1/4-y^2$% оказалось бы меньше $%1/16$%. Значит, $%x > 1/2$%, $%y > 1/2$%, и $$y^2\ge\frac14+\frac1{4(4x^2-1)}=\frac{x^2}{4x^2-1}.$$ Тем самым, надо в первой координатной четверти изобразить два графика. Первый из них -- график обратной пропорциональности $%y=1/x$%, и нас интересует область ниже этого графика вместе с ним самим. Второй график строим для функции $$y=\frac{x}{\sqrt{4x^2-1}}.$$ Здесь нас интересует область выше этого графика, вместе с ним самим. Решая уравнение $$\frac{x}{\sqrt{4x^2-1}}=\frac1x$$ для положительных $%x$%, находим абсциссы точек пересечения графиков. Они равны $%x_1=(\sqrt3-1)/\sqrt2\approx0,52$% и $%x_2=(\sqrt3+1)/\sqrt2\approx1,93$%. Осталось заштриховать область между двумя графиками в первой четверти, добавить все её симметричные в других четвертях, и не забыть также об отдельной точке $%(0;0)$%.

ссылка

отвечен 10 Дек '13 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482

задан
9 Дек '13 23:37

показан
5762 раза

обновлен
10 Дек '13 1:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru