Есть множества A, B и С.Доказать, что $$(AB \bigoplus C) \subseteq (A \bigoplus BC) \cup (C \setminus (A \cup B))$$

задан 10 Дек '13 0:01

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь по-разному можно рассуждать. Можно, например, составить таблицы принадлежности для каждого из двух множеств, и убедиться в том, что каждый элемент первого множества принадлежит второму. Можно нарисовать множества на кругах Эйлера. Можно применить логическое рассуждение. Выглядеть оно будет так.

Рассмотрим произвольный элемент $%x\in AB\oplus C$% левой части включения и проверим, что он принадлежит правой части. По определению "суммы" (она же -- симметрическая разность), имеет место один из двух случаев.

1) $%x\in AB$%, $%x\notin C$%. Тогда $%x\in A$% и $%x\notin BC$%, то есть $%x\in A\oplus BC$%. Значит, $%x$% принадлежит объединению множества $%A\oplus BC$% с любым множеством, в том числе правой части включения.

2) $%x\notin AB$%, $%x\in C$%. Допустим, что $%x\notin A\cup B$%. Тогда $%x$% принадлежит разности множеств $%C\setminus (A\cup B)$%, а потому и правой части включения. Теперь предположим, что $%x\in A\cup B$%. С учётом условия $%x\notin AB$%, элемент $%x$% принадлежит ровно одному из множеств $%A$%, $%B$%. Если $%x\in A$%, $%x\notin B$%, то $%x\notin BC$%, и тогда $%x\in A\oplus BC$%, то есть всё доказано. Если же $%x\notin A$%, $%x\in B$%, то снова $%x\in A\oplus BC$%, но уже по причине $%x\notin A$%, $%x\in BC$%. Все случаи теперь рассмотрены, что завершает доказательство.

Наконец, можно воспользоваться свойствами теоретико-множественных операций, проведя рассуждение на этой основе. По определению, $%AB\oplus C=AB\bar{C}\cup\overline{AB}C$%. По закону де Моргана, $%\overline{AB}=\bar{A}\cup\bar{B}$%, и потому в пересечении этого множества с $%C$%, согласно распределительному закону, получается $%\overline{AB}C=\bar{A}C\cup\bar{B}C$%. Тем самым, $$AB\oplus C=AB\bar{C}\cup\bar{A}C\cup\bar{B}C.$$ Для множества $%A\oplus BC$% формула получается из предыдущей за счёт того, что оно равно $%CB\oplus A$%, то есть в предыдущей формуле происходит взаимная замена $%A$% на $%C$%. Получается $$A\oplus BC=\bar{A}BC\cup A\bar{C}\cup A\bar{B}.$$ (Буквы здесь упорядочены по алфавиту.) Наконец, множество $%C\setminus(A\cup B)$% равно $%C(\overline{A\cup B})=C\bar{A}\bar{B}=\bar{A}\bar{B}C$%. Теперь можно для каждой из частей включения рассмотреть нормальную форму, получая $$AB\oplus C=AB\bar{C}\cup\bar{A}BC\cup\bar{A}\bar{B}C\cup A\bar{B}C.$$ Для правой части включения, соответственно, получаем $$(A\oplus BC)\cup(C\setminus(A\cup B))=\bar{A}BC\cup AB\bar{C}\cup A\bar{B}\bar{C}\cup A\bar{B}C\cup\bar{A}\bar{B}C.$$ Отсюда непосредственно видно, что имеет место включение.

ссылка

отвечен 10 Дек '13 0:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480

задан
10 Дек '13 0:01

показан
1710 раз

обновлен
10 Дек '13 0:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru