"В коробке лежит игрушечный кубик, который может быть красным или зелёным с одинаковой вероятностью. В коробку добавляется красный кубик. Затем кубики перемешиваются и наугад извлекается один из них. Он оказывается красным. Какова вероятность того, что оставшийся в коробке кубик тоже красный?"

Взято с http://possward.blogspot.ru/2013/06/cubes.html

Вопрос: почему правильный ответ - 2/3? :)

Ведь по условиям задачи в коробке изначально лежит кубик, который с вероятностью 50% - красный, 50% - зелёный. Если он красный, мы добавляем и вытаскиваем красный, то с вероятностью 100% и останется красный. Если зелёный - то аналогично, с вероятностью 100% останется зелёный. Получается 1/2?

задан 10 Дек '13 19:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вот для начала рассуждение, показывающее, что в ответе будет 2/3. У понятия вероятности есть частотная интерпретация. Пусть я повторил некий опыт 100 раз, и интересующее меня событие наступило в 27 случаях. Я отсюда делаю вывод, что его вероятность примерно равна 0,27.

Проделаем, скажем, 400 опытов для нашего случая. Я буду называть "старым" тот кубик, который бывает то красным, то зелёным, и "новым" -- тот, который всегда красный. Из 400 случаев у нас в 200 из них старый кубик был красным, и в 200 он был зелёным. В первых 200 опытах кубик, который мы доставали, был красным, и в коробке оставался тоже красный. В остальных 200 опытах красный кубик мы доставали 100 раз, и при этом в коробке оставался зелёный. А в 100 опытах из этих 200 мы доставали зелёный кубик. В условии задачи рассматриваются только случаи, когда мы доставали красный кубик, поэтому последние 100 случаев просто не учитываются в статистике. (Если бы мы их учитывали, то вероятность составила бы 3/4, но это относится к другой ситуации.)

Теперь посмотрим на то, что у нас есть: имеется 300 учитываемых нами опытов, и в 200 из них мы наблюдаем, что в коробке остался красный кубик. Значит, вероятность этого события (при условии, что мы достали красный кубик), равна 200 из 300, то есть 2/3.

Теперь проанализируем, почему рассуждение, приводящее к ответу 1/2, ошибочно. Я предлагаю исходить вот из какого соображения: любое мало-мальски разумное рассуждение (а это рассуждение именно таково) обязательно отвечает правильно на какой-то вопрос. И надо установить, на какой именно, после чего станет ясно, что рассуждение в принципе верно, но для другой задачи. То есть ошибка не в логике, не в арифметике, а в подмене условия. На уровне того, что нас просили подсчитать собак, а мы подсчитали кошек.

Итак, чему же соответствует описанная в рассуждении процедура? Легко понять, что она относится вот к какой ситуации: если старый кубик является красным, то мы перемешиваем кубики и случайно выбираем один из них. А если старый кубик зелёный, то мы ничего не перемешиваем и сознательно извлекаем красный с вероятностью 1/2. Тогда, конечно, в половине случаев будет оставаться красный, а в половине -- зелёный. Но в условии задачи мы действует по-другому. В случае, если старый кубик зелёный, мы вытаскиваем один из кубиков случайно, и извлекаемый кубик может оказаться зелёным, однако эти случаи, согласно условию, не учитываются в частотной статистике.

На "качественном" уровне произошло следующее: мы изменили процедуру извлечения кубиков, и красный стали излекать чаще. Соответственно, вероятность того, что красный кубик останется в коробке, снизилась (с 2/3 до 1/2).

ссылка

отвечен 11 Дек '13 1:41

Я понял, спасибо огромное!

(11 Дек '13 11:42) Михаил М
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843

задан
10 Дек '13 19:33

показан
360 раз

обновлен
11 Дек '13 11:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru