теория-вероятностей - Вероятность, что кубик красный

Вот для начала рассуждение, показывающее, что в ответе будет 2/3. У понятия вероятности есть частотная интерпретация. Пусть я повторил некий опыт 100 раз, и интересующее меня событие наступило в 27 случаях. Я отсюда делаю вывод, что его вероятность примерно равна 0,27.

Проделаем, скажем, 400 опытов для нашего случая. Я буду называть "старым" тот кубик, который бывает то красным, то зелёным, и "новым" -- тот, который всегда красный. Из 400 случаев у нас в 200 из них старый кубик был красным, и в 200 он был зелёным. В первых 200 опытах кубик, который мы доставали, был красным, и в коробке оставался тоже красный. В остальных 200 опытах красный кубик мы доставали 100 раз, и при этом в коробке оставался зелёный. А в 100 опытах из этих 200 мы доставали зелёный кубик. В условии задачи рассматриваются только случаи, когда мы доставали красный кубик, поэтому последние 100 случаев просто не учитываются в статистике. (Если бы мы их учитывали, то вероятность составила бы 3/4, но это относится к другой ситуации.)

Теперь посмотрим на то, что у нас есть: имеется 300 учитываемых нами опытов, и в 200 из них мы наблюдаем, что в коробке остался красный кубик. Значит, вероятность этого события (при условии, что мы достали красный кубик), равна 200 из 300, то есть 2/3.

Теперь проанализируем, почему рассуждение, приводящее к ответу 1/2, ошибочно. Я предлагаю исходить вот из какого соображения: любое мало-мальски разумное рассуждение (а это рассуждение именно таково) обязательно отвечает правильно на какой-то вопрос. И надо установить, на какой именно, после чего станет ясно, что рассуждение в принципе верно, но для другой задачи. То есть ошибка не в логике, не в арифметике, а в подмене условия. На уровне того, что нас просили подсчитать собак, а мы подсчитали кошек.

Итак, чему же соответствует описанная в рассуждении процедура? Легко понять, что она относится вот к какой ситуации: если старый кубик является красным, то мы перемешиваем кубики и случайно выбираем один из них. А если старый кубик зелёный, то мы ничего не перемешиваем и сознательно извлекаем красный с вероятностью 1/2. Тогда, конечно, в половине случаев будет оставаться красный, а в половине -- зелёный. Но в условии задачи мы действует по-другому. В случае, если старый кубик зелёный, мы вытаскиваем один из кубиков случайно, и извлекаемый кубик может оказаться зелёным, однако эти случаи, согласно условию, не учитываются в частотной статистике.

На "качественном" уровне произошло следующее: мы изменили процедуру извлечения кубиков, и красный стали излекать чаще. Соответственно, вероятность того, что красный кубик останется в коробке, снизилась (с 2/3 до 1/2).