Даны 48 различных векторов в пространстве, таких, что абсолютные значения координат каждого из них равны 1, 2 и 3 в некотором порядке. Для каждой пары векторов посчитали скалярное произведение, после чего получившиеся 1128 чисел сложили. Найдите их сумму.

задан 10 Дек '13 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для любых пространственных векторов $%v_1$%, ..., $%v_n$% (я не ставлю сверху "стрелочек") справедливо такое тождество: $$(v_1+\cdots+v_n)^2=v_1^2+\cdots+v_n^2+2\sum_{i < j}v_iv_j,$$ где суммирование скалярных произведений ведётся по всем парам. Квадрат длины каждого из векторов равен $%1^2+2^2+3^2=14$%. Далее, всего имеется ровно $%48$% векторов со свойством из условия задачи, потому что перестановку чисел 1, 2, 3 можно создать 6 способами, а потом у каждого из трёх чисел проставить знаки двумя способами. Следовательно, перед нами все такие векторы, и их сумма из соображений симметрии представляет собой нулевой вектор (число $%k$% встречается на каждом месте столько же раз, что и $%-k$%). Следовательно, сумма попарных скалярных произведений равна $%-\frac12\cdot48\cdot14=-336$%.

ссылка

отвечен 11 Дек '13 0:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

откуда взялась -1/2???????7 А что если координаты будут 2,3,4?

ссылка

отвечен 22 Дек '13 12:59

Знака вопроса, мне кажется, здесь было бы достаточно одного. Причина появления множителя $%-1/2$% такова: в левой части мы получили 0, а в правой имеется сумма вида $%A+2B$%. Тогда понятно, что из $%0=A+2B$% следует, что $%B=-\frac12A$%. Здесь арифметика совсем простая, то есть легко догадаться, почему так. Если 1, 2, 3 заменить на 2, 3, 4, то изменится только сумма квадратов. Вместо 14 появится другое число.

(22 Дек '13 16:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

А если координаты будут 1, 2, 4. То тоже только сумма квадратов изменить ?

ссылка

отвечен 25 Дек '13 19:01

@FrAshy: конечно, это на принцип решения не влияет -- поменяется только сумма квадратов.

(25 Дек '13 19:04) falcao

Спасибо. С Наступающим Новым Годом Вас! Здоровья, веселья, доброты.

(25 Дек '13 19:13) FrAshy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,700

задан
10 Дек '13 22:45

показан
3081 раз

обновлен
25 Дек '13 19:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru