Доказать, что lim стремящийся к бесконечности ((1/(x-1))-1/x)=1/2

задан 10 Дек '13 23:54

изменен 11 Дек '13 3:45

Deleted's gravatar image


126

*x стремится к 2

(10 Дек '13 23:59) Григорий123321
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим разность функции $%f(x)=\frac1{x-1}-\frac1x=\frac1{x(x-1)}$% и её предполагаемого предела при $%x\to2$%. Получится $$\frac1{x(x-1)}-\frac12=\frac{2+x-x^2}{2x(x-1)}=\frac{(2-x)(1+x)}{2x(x-1)}.$$ Далее идея следующая: если $%x$% близко к двум, то величина $%|x-2|$% мала, а остальные величины близки к каким-то постоянным ненулевым значениям, откуда получается, что модуль разности $%|f(x)-\frac12|$% может быть сделан сколь угодно малым при $%x$% достаточно близком к $%2$%. Формальное доказательство таково: фиксируем произвольное $%\varepsilon > 0$%. Рассмотрим такие $%x$%, для которых выполнено неравенство $%|x-2| < \delta_1=1/2$%. При этом $%3/2 < x < 5/2$%. Тогда $%0 < 1+x < 7/2$%, $%x-1 > 1/2$%, и потому величина $%\frac{1+x}{2x(x-1)}$%, будучи положительной, оказывается меньше $%\frac{7/2}{2(3/2)(1/2)}=7/3 < 3$%. Отсюда следует, что $$|f(x)-\frac12|=|x-2|\frac{1+x}{2x(x-1)} < 3|x-2| < \varepsilon$$ при $%|x-2| < \delta$%, где $%\delta=\min(1/2;\varepsilon/3)$%. Поскольку при всех $%x$%, удовлетворяющих неравенству $%0 < |x-2| < \delta$% (а здесь даже и при $%x=2$%) выполнено неравенство $%|f(x)-\frac12| < \varepsilon$%, из определения предела получаем, что $$\lim\limits_{x\to2}\left(\frac1{x-1}-\frac1x\right)=\frac12.$$

ссылка

отвечен 11 Дек '13 0:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,242
×104

задан
10 Дек '13 23:54

показан
3313 раз

обновлен
11 Дек '13 0:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru