математический-анализ - Пользуясь определением предела функции доказать

Рассмотрим разность функции $%f(x)=\frac1{x-1}-\frac1x=\frac1{x(x-1)}$% и её предполагаемого предела при $%x\to2$%. Получится $$\frac1{x(x-1)}-\frac12=\frac{2+x-x^2}{2x(x-1)}=\frac{(2-x)(1+x)}{2x(x-1)}.$$ Далее идея следующая: если $%x$% близко к двум, то величина $%|x-2|$% мала, а остальные величины близки к каким-то постоянным ненулевым значениям, откуда получается, что модуль разности $%|f(x)-\frac12|$% может быть сделан сколь угодно малым при $%x$% достаточно близком к $%2$%. Формальное доказательство таково: фиксируем произвольное $%\varepsilon > 0$%. Рассмотрим такие $%x$%, для которых выполнено неравенство $%|x-2| < \delta_1=1/2$%. При этом $%3/2 < x < 5/2$%. Тогда $%0 < 1+x < 7/2$%, $%x-1 > 1/2$%, и потому величина $%\frac{1+x}{2x(x-1)}$%, будучи положительной, оказывается меньше $%\frac{7/2}{2(3/2)(1/2)}=7/3 < 3$%. Отсюда следует, что $$|f(x)-\frac12|=|x-2|\frac{1+x}{2x(x-1)} < 3|x-2| < \varepsilon$$ при $%|x-2| < \delta$%, где $%\delta=\min(1/2;\varepsilon/3)$%. Поскольку при всех $%x$%, удовлетворяющих неравенству $%0 < |x-2| < \delta$% (а здесь даже и при $%x=2$%) выполнено неравенство $%|f(x)-\frac12| < \varepsilon$%, из определения предела получаем, что $$\lim\limits_{x\to2}\left(\frac1{x-1}-\frac1x\right)=\frac12.$$