уравнения - Задача по УРЧП

$$u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\cdot\cos x, u_t(x,0)=1\\u(0,t)=U(\pi,t)=0$$

Ищем частное решение уравнения в виде $%u(x,t)=X(x)T(t)$% и подставляем в уравнение.

$%X(x)T''(t)=X''(x)T(t)$%. Делим обе части уравнения на $%X(x)T(t):\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$%.

Левая часть зависит только от t, правая - только от x, и они равны. Значит они равны константе, которую мы обозначим $%-\lambda$%.

Тогда мы получаем задачу Штурма-Лиувилля

$$X''(x)+\lambda X(x)=0\\X(0)=X(\pi)=0$$

Мы должны найти такие $%\lambda$%, при которых это уравнение будет иметь ненулевое решение, которое мы тоже найдём. Я не буду приводить решение целиком и обозначу соответствующие числа через $%\lambda_n$% и функции через $%X_n(x)$%.

Тогда мы получаем семейство уравнений $$T_n''(t)+\lambda_nT(t)$$, откуда находим $%T_n(t)$%.

Наше решение задаётся рядом $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)X(x)$$