Помогите пожалуйста решить задачу. Utt=Uxx, 0<x<pi, t>0, U(0,t)=U(pi,t)=0, U(x,0)=sinx*cosx Ut(x,0)=1. Заранее благодарен. задан 11 Дек '13 10:07 volakir |
$$u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\cdot\cos x, u_t(x,0)=1\\u(0,t)=U(\pi,t)=0$$ Ищем частное решение уравнения в виде $%u(x,t)=X(x)T(t)$% и подставляем в уравнение. $%X(x)T''(t)=X''(x)T(t)$%. Делим обе части уравнения на $%X(x)T(t):\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$%. Левая часть зависит только от t, правая - только от x, и они равны. Значит они равны константе, которую мы обозначим $%-\lambda$%. Тогда мы получаем задачу Штурма-Лиувилля $$X''(x)+\lambda X(x)=0\\X(0)=X(\pi)=0$$ Мы должны найти такие $%\lambda$%, при которых это уравнение будет иметь ненулевое решение, которое мы тоже найдём. Я не буду приводить решение целиком и обозначу соответствующие числа через $%\lambda_n$% и функции через $%X_n(x)$%. Тогда мы получаем семейство уравнений $$T_n''(t)+\lambda_nT(t)$$, откуда находим $%T_n(t)$%. Наше решение задаётся рядом $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)X(x)$$ отвечен 11 Дек '13 18:31 MathTrbl |
Как же $%0 < x <\pi,$% но $%U(0, t)=0?$% Где определена функция?
Эти уравнения решаются во внутренних точках области, так как на границе функция лишь один раз дифференцируема
спасибо большое.