Помогите пожалуйста решить задачу. Utt=Uxx, 0<x<pi, t>0, U(0,t)=U(pi,t)=0, U(x,0)=sinx*cosx Ut(x,0)=1. Заранее благодарен.

задан 11 Дек '13 10:07

Как же $%0 < x <\pi,$% но $%U(0, t)=0?$% Где определена функция?

(11 Дек '13 17:40) trongsund

Эти уравнения решаются во внутренних точках области, так как на границе функция лишь один раз дифференцируема

(11 Дек '13 18:32) MathTrbl

спасибо большое.

(17 Дек '13 0:38) volakir
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\cdot\cos x, u_t(x,0)=1\\u(0,t)=U(\pi,t)=0$$

Ищем частное решение уравнения в виде $%u(x,t)=X(x)T(t)$% и подставляем в уравнение.

$%X(x)T''(t)=X''(x)T(t)$%. Делим обе части уравнения на $%X(x)T(t):\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$%.

Левая часть зависит только от t, правая - только от x, и они равны. Значит они равны константе, которую мы обозначим $%-\lambda$%.

Тогда мы получаем задачу Штурма-Лиувилля

$$X''(x)+\lambda X(x)=0\\X(0)=X(\pi)=0$$

Мы должны найти такие $%\lambda$%, при которых это уравнение будет иметь ненулевое решение, которое мы тоже найдём. Я не буду приводить решение целиком и обозначу соответствующие числа через $%\lambda_n$% и функции через $%X_n(x)$%.

Тогда мы получаем семейство уравнений $$T_n''(t)+\lambda_nT(t)$$, откуда находим $%T_n(t)$%.

Наше решение задаётся рядом $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)X(x)$$

ссылка

отвечен 11 Дек '13 18:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×808
×43

задан
11 Дек '13 10:07

показан
418 раз

обновлен
17 Дек '13 0:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru