Решить систему уравнений: $$|x - 2| + |y - 1| + |z - 4| = 5;$$ $$|x + 1| + |y + 2| + |z – 2| = 3; $$ $$|x + 3| +|y – 3| + |z+1| = 7; $$ В ответе указать x, y, z через запятую. Если решений больше одного, в ответе приведите то, где x + y + z наибольшее. Если решать через поэтапное раскрытие всех модулей, то получается 27 систем уравнений. Может быть есть более рациональный метод решения. Заранее благодарен.

задан 11 Дек '13 12:55

изменен 11 Дек '13 19:54

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь надо всё сложить вместе и разобраться с каждой отдельной переменной. В частности, $%|x-2|+|x+1|+|x+3|$% есть суммарное расстояние от точки $%x$% числовой прямой до точек $%2$%, $%-1$%, $%-3$%, и эта величина не меньше расстояния между наиболее удалёнными из рассматриваемых точек, то есть $%2-(-3)=5$%. С формальной точки зрения, здесь применяется неравенство треугольника: модуль суммы не превосходит суммы модулей, то есть $%|x-2|+|x+3|=|2-x|+|x+3|\ge|2-x+x+3|=5$%. Оставшееся слагаемое оцениваем снизу нулём. То есть $%|x-2|+|x+1|+|x+3|\ge5$%, и равенство возможно только при $%x=-1$%.

Для переменной $%y$% аналогично получается $%|y-1|+|y+2|+|y-3|\ge5$% с равенством в "средней" точке $%y=1$%. Наконец, для $%z$% получается $%|z-4|+|z-2|+|z+1|\ge5$% с равенством для $%z=2$%.

Поскольку $%5+5+5=15=5+3+7$%, равенство на самом деле имеет место в каждом из трёх случаев, и это даёт единственное решение системы.

ссылка

отвечен 11 Дек '13 15:14

@falcao: В этой системе уравнений |x−1|+|y−3|+|z+2|=1; |x-3|+|y+1|+|z–2|=9; |x+1|+|y–2|+|z+4|=8;Ваше блестящее решение рассыпается, т. к. суммарное расстояние от точки х до точек 1, 3 и -1 равно 4, суммарное расстояние от у до точек 3, -1 и 2 равно тоже 4, суммарное расстояние от z до точек -2, 2, -4 равно 6, сумма равна 14, а сумма правой части системы равна 18. И не вычленяются модули равный нулю, а получается система неравенств |x−1|+|x-3|+|x+1|>=4; |y−3|+|y+1|+|y–2|>=4; |z+2|+|z–2|+|z+4|>=6. И я растерялся. Не могли бы Вы помочь, хотя бы намекнуть. Заранее благодарен. С уважением.

(17 Дек '13 14:03) serg55
1

@serg55: это не моё решение здесь "рассыпается", а просто задача другая. Сама идея решения была жёстко связана с совпадением значений двух сумм. Для общего случая надо или рассматривать много вариантов, или как-то ещё "хитрить".

Та система, которую Вы сейчас привели, решений вообще не имеет. Достаточно сравнить почленно первое и третье уравнения: $%|x+1|=|x-1+2|\le|x-1+2$% и так далее. Если всё сложить, получается противоречие: $%8\le1+(2+1+2)$%.

(17 Дек '13 15:35) falcao

@falcao: Огромное спасибо! Я ни в малой степени не сомневался в правильности Вашего решения, но мне непривычно, что получается еще раз ответ "нет решений". Такого раньше как-то не было в этой олимпиаде. Поэтому я и растерялся. Еще раз спасибо Вам.

(17 Дек '13 15:57) serg55

@serg55: обратите внимание ещё вот на какую особенность задачи. Если сложить первые два уравнения, то там будет наблюдаться "баланс": 2+4+4=1+9. Из этого можно сделать выводы типа $%x\in[1;3]$% и т.п. Это позволяет однозначно раскрыть некоторые из модулей и сделать какие-то полезные выводы.

(17 Дек '13 16:03) falcao

@falcao:Получается у находится на отрезке [-1; 3], z [-2; 2]. после однозначного открытия почти всех модулей, кроме |y-2|, получим систему уравнений x-y+z=-3; -x+y-z=3; x+|y-2|+z=3. Раскрыв модуль получаем при у>=2, у=4, а это противоречит границам у[-1;3]. При у<2, вообще решений нет. Т.о. данная система опять не имеет решений. Правильно я Вас понял?

(17 Дек '13 16:46) serg55
1

@serg55: так ведь это та же самая система! То, что она не имеет решений, уже было установлено. Это всего лишь другой способ прийти к тому же самому -- на случай, если мы не догадались сравнить первое уравнение с третьим.

(17 Дек '13 16:51) falcao

@falcao:Я понял, что это таже самая система, просто я хотел подойти к ее решению с другой стороны, чтобы разобрать разные методы решения подобных систем. Вам огромное спасибо за помощь. С глубоким уважением.

(17 Дек '13 16:56) serg55
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,696

задан
11 Дек '13 12:55

показан
1712 раз

обновлен
17 Дек '13 17:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru