Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

задан 11 Дек '13 20:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ: не мог.

Примем за единицу времени общее время движения спортсменов, и будем считать, что каждый из них двигался от момента времени 0 до момента 1. Также примем за единицу расстояния длину 60 км, и будем измерять координату спортсмена на прямой от точки старта 0 до точки финиша 1.

Можно теперь нарисовать график движения каждого спортсмена. Это будет ломаная, состоящая из двух звеньев. Первое звено начинается в точке $%(0;0)$% и оканчивается в некоторой точке прямой $%y=1$% (на верхней стороне единичного квадрата). Второе звено идёт далее из этой точки в $%(1;0)$%. Нарисуем три таких графика, и пусть их верхние точки делят верхнюю сторону квадрата на отрезки длиной $%a$%, $%b$%, $%c$%, $%d$%, считая слева направо.

Нетрудно понять, в какой точке должен находиться тренер в каждый из моментов времени: если мы рассмотрим расположение трёх спортсменов на отрезке, по котором они двигаются, то тренер должен всегда быть в точке положения "среднего" спортсмена, расположенного на прямой между двумя другими. При этом, если два или три спортсмена оказались в одной точке, то и тренер должен быть там же. Это всё легко следует из свойств расстояний.

Теперь можно по графикам понять, какова будет траектория тренера. Он всегда выбирает "среднюю" из трёх координат спортсменов, и поэтому график его движения представляет собой такую М-образную линию: сначала он поднимается из $%(0;0)$% до некоторой точки $%A_1$%, затем опускается до точки $%A_2$%, потом снова поднимается до $%A_3$% и далее опускается к точке $%(1;0)$%. Ординаты точек вида $%A_i$% обозначим через $%y_i$%, и тогда суммарный путь тренера составит $%y_1+(y_1-y_2)+(y_3-y_2)+y_3=2(y_1-y_2+y_3)$%. Нашей целью является доказательство неравенства $%y_1-y_2+y_3\ge\frac56$%, что означает, что тренер проходит путь не мене $%5/3$%, где 60 км принято за единицу длины, а это и есть 100 км. (На самом деле, неравенства можно сделать строгими, если исключить "вырожденные" случаи.)

Найдём координату $%y_1$%. Это ордината пересечения двух линий, которые вместе с нижней и верхне стороной квадрата образуют подобные треугольники с высотами $%y_1$% и $%1-y_1$%, основания которых суть $%1$% и $%b$%. Тогда из пропорции следует, что $%y_1=\frac1{b+1}$%. Аналогично, $%y_2=\frac1{b+c+1}$%, и $%y_3=\frac1{c+1}$%. В итоге возникает неравенство $$\frac1{b+1}+\frac1{c+1}-\frac1{b+c+1}\ge\frac56,$$ которое требуется доказать для неотрицательных $%b,c$% с условием $%b+c\le1$%. Это можно сделать при помощи прямого вычисления, выражая всё через величины $%\sigma_1=b+c$% и $%\sigma_2=bc$%. После преобразований получается неравенство $%(1+\sigma_1)\ge(5+3\sigma_1)\sigma_2$%, которое и надо проверить. Учитывая то, что $%4\sigma_2=4bc\le(b+c)^2=\sigma_1^2$%, достаточно доказать неравенство $%4(1+t)\ge(5+3t)t^2$% при $%t\in[0;1]$%. Оно эквивалентно $%(t-1)(t+2)(3t+2)\le0$%, что завершает доказательство.

То же неравенство можно доказать и на основании подходящих неравенств о среднем. Вообще, здесь создаётся впечатление, что имеется какой-то более короткий путь с использованием подходящей "усреднённой" характеристики движения, но мне удалось пока найти только такое вот вычислительное решение.

ссылка

отвечен 12 Дек '13 7:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38

задан
11 Дек '13 20:42

показан
557 раз

обновлен
12 Дек '13 7:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru