$$│ x + 2 │ - 2 ≤ x$$ и $$(2^{x+1} + 2^{x-1}+2^{1-x})\sin(πx/2) + \cos(πx)= 3 + 2^{2x-1}$$

задан 11 Дек '13 23:54

изменен 26 Апр '14 15:17

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из первого неравенства $%x+2\ge0$%. Введём переменные $%y=2^{x-1}$% и $%t=\sin(\pi x/2)$%. Тогда $%\cos\pi x=1-2t^2$%, и уравнение можно записать через $%y$% и $%t$%. Оно является квадратным относительно $%t$% и имеет вид $$2t^2-t(5y+1/y)+2y^2+2=0.$$ Дискриминант здесь равен $%D=(5y+1/y)^2-16(y^2+1)=9y^2-6+1/y^2=(3y-1/y)^2$%. Поэтому корни уравнения относительно $%t$% получаются такие: $%t_1=2y$%, $%t_2=(y+1/y)/2$%.

Во втором случае, поскольку $%y > 0$%, получается $%y+1/y\ge2$% (неравенство о среднем), то есть $%t_2\ge1$%. С другой стороны, через $%t$% был обозначен синус, поэтому $%t_2\le1$%, то есть $%\sin(\pi x/2)=1$%. Понятно также, что $%y=1$%, то есть $%2^{x-1}=1$%, и $%x=1$%. Синус при этом получается такой, как надо; неравенство $%x\ge-2$% тоже выполнено, то есть $%x=1$% является решением. Осталось разобрать случай $%t_1=2y$%, чтобы проверить, что других решений нет.

Здесь получается уравнение $%2^x=\sin(\pi x/2)$% на промежутке $%x\in[-2;+\infty)$%. При $%-2\le x\le0$% левая часть положительна, а правая меньше либо равна $%0$%. При $%x > 0$% левая часть больше $%1$%, а правая -- не больше. Значит, у этого уравнения решений нет, и $%x=1$% -- единственное решение системы.

ссылка

отвечен 12 Дек '13 2:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×273

задан
11 Дек '13 23:54

показан
427 раз

обновлен
12 Дек '13 2:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru