$$\int_{-1}^{1}\sin\frac{1-x}{1+x} (1-x^{2}) ^{\alpha}dx$$ Расписал его на сумму двух $$\int_{-1}^{0}f(x)+\int_{0}^{1}f(x)$$, где особенные точки соответственно -1 и 1, исследую первый интеграл- абсолютно сходится при $$\alpha>-1$$, и вот насчет обычной сходимости, она ведь будет в промежутке от -2 до -1? Я расписывал по Дирихле, предварительно домножив и разделив на производную аргумента синуса, получилось , что $$\sin(\frac{1-x}{1+x})\frac{-2}{(1+x)^{2}}$$ непрерывен и имеет ограниченную первообразную на множестве,у второго множителя $$\frac{(1+x)^2}{-2(1+x^{2})^{\alpha}}$$ я взял производную,следовательно видно, что непрерывно дифференцируема, а как доказать монотонность?

задан 12 Дек '13 11:03

Мне не совсем понятен Ваш метод. Если надо применить признак Дирихле, то там достаточно показать ограниченность интегралов от синуса вблизи особой точки. Это можно попытаться сделать при помощи замены переменной вида $%y=(1-x)/(1+x)$%, где $%y$% будет стремиться к бесконечности. По-моему, там никаких трудностей не возникает. Что касается монотонности, то для Вашей функции сразу ясно, что если $%x$% увеличивается, то $%1+x^2$% тоже увеличивается. Отсюда ясно, как ведёт себя функция $%(1+x^2)^{2-\alpha}$%: при положительном значении показателя она монотонно возрастает.

(12 Дек '13 22:45) falcao

Но ведь как-раз, если сделать такую замену то придется что-то с производной делать, $$dy$$ которая, и множитель $$(1−x^2)^α$$ же, откуда $$(1+x^2)^(2-α)$$?

(14 Дек '13 16:48) Jhon
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,043
×221
×96

задан
12 Дек '13 11:03

показан
1030 раз

обновлен
14 Дек '13 16:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru