|
$$\int_{-1}^{1}\sin\frac{1-x}{1+x} (1-x^{2}) ^{\alpha}dx$$ Расписал его на сумму двух $$\int_{-1}^{0}f(x)+\int_{0}^{1}f(x)$$, где особенные точки соответственно -1 и 1, исследую первый интеграл- абсолютно сходится при $$\alpha>-1$$, и вот насчет обычной сходимости, она ведь будет в промежутке от -2 до -1? Я расписывал по Дирихле, предварительно домножив и разделив на производную аргумента синуса, получилось , что $$\sin(\frac{1-x}{1+x})\frac{-2}{(1+x)^{2}}$$ непрерывен и имеет ограниченную первообразную на множестве,у второго множителя $$\frac{(1+x)^2}{-2(1+x^{2})^{\alpha}}$$ я взял производную,следовательно видно, что непрерывно дифференцируема, а как доказать монотонность? задан 12 Дек '13 11:03 
Jhon |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
12 Дек '13 11:03
показан
1604 раза
обновлен
14 Дек '13 16:50
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Мне не совсем понятен Ваш метод. Если надо применить признак Дирихле, то там достаточно показать ограниченность интегралов от синуса вблизи особой точки. Это можно попытаться сделать при помощи замены переменной вида $%y=(1-x)/(1+x)$%, где $%y$% будет стремиться к бесконечности. По-моему, там никаких трудностей не возникает. Что касается монотонности, то для Вашей функции сразу ясно, что если $%x$% увеличивается, то $%1+x^2$% тоже увеличивается. Отсюда ясно, как ведёт себя функция $%(1+x^2)^{2-\alpha}$%: при положительном значении показателя она монотонно возрастает.
Но ведь как-раз, если сделать такую замену то придется что-то с производной делать, $$dy$$ которая, и множитель $$(1−x^2)^α$$ же, откуда $$(1+x^2)^(2-α)$$?