Среди всех натуральных четырёхзначных чисел подсчитать количество таких, сумма квадратов цифр, которых кратна двум или трём.

задан 12 Дек '13 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%\overline{abcd}$% -- число из условия задачи; $%S=a^2+b^2+c^2+d^2$% есть сумма квадратов цифр. Число $%S$% кратно двум тогда и только тогда, когда $%a+b+c+d$% -- чётное число. Легко понять, что таких чисел ровно половина от всех, то есть 4500. Далее, квадрат целого числа, делящегося на 3, сам делится на 3, а если в квадрат возводится число, не делящееся на 3, то в остатке будет 1. Значит, для кратности трём числа $%S$% необходимо и достаточно, чтобы цифр, не делящихся на 3, у числа было ноль или три.

Для первого случая, когда все цифры делятся на 3, имеется $%3\cdot4^3$% вариантов. Пусть теперь на 3 делится ровно одна цифра. Если она первая, то таких вариантов $%3\cdot6^3$%. Если вторая, то вариантов $%6\cdot4\cdot6^2$%, и столько же вариантов для третьей и четвёртой цифры. Итого получаем, что сумма квадратов кратна трём для $%3\cdot4^3+3\cdot6^3+3\cdot4\cdot6^3=3432$% чисел.

Осталось понять, сколько имеется чисел, обладающих тем и другим свойством вместе. Легко понять, что их ровно половина от 3432, то есть 1716. Действительно, если при подсчёте предыдущих вариантов мы выбираем последнюю цифру, дополнительно заботясь о чётности или нечётности, то как в случае делимости цифры на 3, так и в случаи её не делимости на 3, нам подходит ровно половина вариантов.

Таким образом, в ответе получается $%4500+3432-1716=6216$%. Это примерно $%69\%$% от общего количества четырёхзначных чисел.

ссылка

отвечен 12 Дек '13 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×191

задан
12 Дек '13 18:54

показан
980 раз

обновлен
12 Дек '13 21:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru