стереометрия - Задача по геометрии

Достаточно решить планиметрическую задачу, когда в равнобедренный треугольник с углом $%\alpha$% при вершине вписана окружность радиуса $%R$%, а в неё вписан ещё один равнобедренный треугольник с углом $%\alpha$% при вершине.

Обозначим основания большего и меньшего треугольников через $%x$% и $%y$%. Тогда $%y=2R\sin\alpha$% по теореме синусов. Для меньшего из треугольников рассмотрим три точки: центр вписанной окружности, середину основания, и одну из вершин основания. Тогда отношение $%x/2$% к $%R$% будет равно котангенсу половинного угла при основании равнобедренного треугольника. Из тригонометрических тождеств следует, что $$\frac{x}{2R}={\mathop{\rm ctg\,}}(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}4)=\frac{\cos\frac{\alpha}2}{1-\sin\frac{\alpha}2}.$$ Таким образом, $$\frac{x}y=\frac{\cos\frac{\alpha}2}{(1-\sin\frac{\alpha}2)\sin\alpha}=\frac1{2(1-t)t},$$ где $%t=\sin\frac{\alpha}2$%. Угол $%\alpha$% может принимать значения между $%0$% и $%\pi$%, то есть $%t\in(0;1)$%. Легко понять, что $%0 < t(1-t)\le\frac14$%, то есть $%x/y\ge2$%, и отношение объёмов $%a=(x/y)$% не меньше $%8$%.

При $%a\ge8$% задача имеет решение, так как квадратное уравнение $%t(1-t)=c$% будет иметь решения на интервале $%(0;1)$% при любом положительном $%c\le\frac14$%. В нашем случае $%c=\frac1{2\sqrt[3]a}$%. Значения угла $%\alpha$% выражаются через $%t$% и через арксинус. При $%a=8$% получается $%\alpha=\pi/3$%, а при $%a > 8$% имеется два корня уравнения и два значения угла.