матрица - Доказать утверждение

Удобно ввести так называемые матричные единицы, то есть матрицы вида $%e_{ij}$%, у которых на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца находится единица, а остальные матричные элементы равны нулю. Правило перемножения матричных единиц выглядит просто: $%e_{ij}e_{kl}=e_{il}$% при $%j=k$%, и равно нулевой матрице, если $%j\ne k$%.

Для того, чтобы матрица была перестановочна со всеми диагональными, необходимо и достаточно, чтобы она была перестановочна с матрицами вида $%e_{kk}$% для всех $%k$% от $%1$% до $%n$%. Эти матрицы сами диагональны, а любая диагональная матрица является их линейной комбинацией.

Представим квадратную матрицу $%A=||a_{ij}||$% порядка $%n$% в виде суммы $%\sum a_{ij}e_{ij}$% по всем $%i,j$%. Произведём умножение на $%e_{kk}$% справа и слева. По правилу умножения матричных единиц, $%Ae_{kk}=\sum_i a_{ik}e_{ik}$%. Для случая умножения слева получим $%e_{kk}A=\sum_j a_{kj}e_{kj}$%. Эти матрицы должны совпадать, то есть должны совпадать их коэффициенты при каждом $%e_{ij}$%. Отсюда ясно, что при $%i\ne k$% выполняется равенство $%a_{ik}=0$%, так как во второй сумме коэффициенты могут быть ненулевыми только для матричных единиц с первым индексом, равным $%k$%. Ввиду того, что $%k$% принимает каждое из значений от $%1$% до $%n$%, заключаем, что $%a_{ik}\ne0$% для любых $%i\ne k$%. А это в точности означает диагональность матрицы $%A$%.