дифференциальные-уравнения - $%y\ln y+xy'=0$%

В полученном выражении должны присутствовать модули.

Здесь надо просто выразить $%y$% через $%x$% обычным образом: $%\ln|\ln y|=c-\ln|x|$%; $%\ln y=\pm e^{c-\ln|x|}=\pm e^c/|x|$%. Здесь $%e^c$% удобно принять за новую положительную константу $%k$%. Тогда $%\ln y=\pm k/|x|$%, и, наконец, $%y=e^{\pm k/|x|}$%. Здесь также можно принять $%e^{\pm k}$% за $%a$%, где $%a > 0$%, $%a\ne1$%. Получится $%y=a^{1/|x|}$%. Отдельно можно заметить, что функция $%y=1$% тоже является решением уравнения (она была потеряна при делении на $%\ln y$% в процессе разделения переменных). Поэтому остаётся только ограничение $%a > 0$% на константу.