Дан треугольник ABC. угол BAC=120.Точка К принадлежит стороне BC. угол ВАК=30.Также еще известно что BK=AC=x.найти длину отрезка KC.

задан 14 Дек '13 1:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

Решение- Пусть $%\angle C=\alpha, \angle B=60^0-\alpha, \angle KAC=120^0-30^0=90^0.$% Из прямоугольного треугольника $%AKC, AK=xtg\alpha,$% а из треугольника $%ABK,$% по теореме синусов $%\frac {x}{sin30^0}=\frac{xtg\alpha}{sin(60^0-\alpha)}\Rightarrow 2sin(60^0-\alpha)cos\alpha=sin\alpha \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow 2cos\alpha(sin60^0cos\alpha-cos60^0sin\alpha)=sin\alpha.$% Отсюда получаем $%sin\alpha(1+cos\alpha)=\sqrt3cos^2\alpha.$%

А после возведения в квадрат и заменяя $%sin^2\alpha$% на $%1-cos^2\alpha$%, после не сложных преобразований, получаем $%(1+2cos\alpha)(1-2cos^3\alpha)=0.$% Так-как $%\alpha\in (0^0;90^0),$% значит $%\cos\alpha=\frac1{\sqrt[3]2},$% а $%KC=\frac{AC}{cos\alpha}=x\sqrt[3]2.$%

ссылка

отвечен 15 Дек '13 2:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим для удобства $%x=1$%. В конце полученный ответ умножим на $%x$%.

Обозначим $%KC=y$%. Поскольку $%KAC$% -- прямой угол, имеем $%\cos\angle C=AC/KC=1/y$%. Такое же значение будет у синуса угла $%AKB$%. Применяя теорему синусов, получим, что $%AB:BK$% равно отношению синусов углов $%AKB$% и $%BAK$%, то есть $%(1/y):(1/2)$%. Отсюда $%AB=2/y$% ввиду $%BK=1$%.

Теперь применим к треугольнику $%ABC$% теорему косинусов: $%AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot\cos\angle C$%. Это приводит к уравнению $%4/y^2=1+(y+1)^2-2(y+1)/y$%, что упрощается до уравнения четвёртой степени $%y^4+2y^3-2y-4=0$%. Поделив на $%y+2 > 0$%, имеем $%y^3=2$%, то есть $%y=\sqrt[3]2$%. Осталось домножить это число на $%x$%.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 1:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,395
×598

задан
14 Дек '13 1:04

показан
402 раза

обновлен
15 Дек '13 2:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru