алгебра - Прогрессия геометрическая

Как я уже говорил, здесь естественно было бы ожидать нахождения наименьшего $%n$%, удовлетворяющего условиям задачи. В крайнем случае, можно дать описание всех таких $%n$%.

Прежде всего, наименьший натуральный делитель числа, отличного от 1, всегда является простым. Значит, далее идут его степени вплоть до четвёртой. Поэтому речь идёт о числе 2: в противном случае уже пятый делитель будет не меньше 81. Таким образом, у нас в начале идут степени двойки 1, 2, 4, 8, 16. Кроме двойки есть ещё простые делители, и их должно быть по крайней мере два. С другой стороны, их не может быть три и более, так как у чисел 17, 19, 23 сумма уже превышает 56. Таким образом, кроме 2 есть ещё ровно два простых делителя, сумма которых равна 54. Это либо 17 и 37, либо 23 и 31. Рассмотрим оба случая.

Для чисел 17 и 37 среди следующих делителей окажутся 17, 34 и 37. Если число при этом не делится на 32, то девятым делителем окажется 68, что не подходит. Значит, число $%n$% имеет вид $%2^{k}\cdot17^{l}\cdot37^{m}$%, где $%k\ge5$%, $%l,m\ge1$%. Все такие числа подходят по условию, и наименьшим из них является $%20128=2^5\cdot17\cdot37$%.

Для чисел 23 и 31 среди последующих делителей встретятся 23, 31, 46, 62. Независимо от присутствия в списке чисел 32 или 64, девятый по счёту делитель будет меньше 65. В этом случае $%n$% имеет вид $%2^{k}\cdot23^{l}\cdot31^{m}$%, где $%k\ge4$%, $%l,m\ge1$%. Все эти числа будут больше 20000, за исключением одного: $%2^4\cdot23\cdot31=11408$%. Следующим по величине будет $%22816$%, и оно больше найденного выше числа $%20128$%.

Таким образом, мы получили полное описание всех чисел, удовлетворяющих условию задачи и нашли наименьшее из них.