Найти норму функционала f в пространстве C[-1,1] : f(x) = x'(0)

задан 14 Дек '13 10:03

изменен 14 Дек '13 10:15

Надо уточнить условие. Под $%C[a;b]$% понимается пространство непрерывных функций. У таких функций производная в нуле может не существовать, то есть функционал не будет всюду определён. Кроме того, в пространстве функций должна быть указана норма. Это может делаться разными способами, даже если рассматривать распространённые варианты.

(14 Дек '13 13:40) falcao

К сожалению не могу уточнить условие, ибо задача так была сформулирована преподавателем, но я нашел схожую задачу: Доказать, что функционал f(x) = x'(0), заданный на множестве дифференцируемых функций пространства C[−1, 1] является линейным и неограниченным. Что мы можем вытащить отсюда?

(14 Дек '13 17:47) VanHalen

@VanHalen: я предпочитаю иметь дело с чёткими постановками задач, чтобы не надо было "гадать". Бывает, что преподаватели дают задачи в "усечённой" форме, если до этого разбирались какие-то аналогичные примеры. Скажем, про то же пространство, где норма уже была задана. Можно заглянуть сюда и увидеть, что "хороших" норм там как минимум две. К какой из них относится пример?

(14 Дек '13 18:08) falcao

нашел, ||x||=max x(t)+max x'(t), t принадлежит [-1,1]

(14 Дек '13 18:27) VanHalen

но как найти норму функционала?

(14 Дек '13 18:27) VanHalen
10|600 символов нужно символов осталось
0

В таком виде задача стала понятной. Это стандартная норма в пространстве функций $%C^1[a,b]$%. Надо только в определении поставить везде модули около функций и производных.

По определению, нормой функционала называется точная верхняя грань отношения $%|f(x)|/||x||$% по всем ненулевым функциям $%x(t)$%. Ясно, что в данной задаче $%|f(x)|=|x'(0)|$% не превосходит $%\max|x'(t)|$%, а потому не превосходит $%||x||$%. Поэтому все рассматриваемые отношения не превосходят единицы. Достаточно доказать, что на некоторых функциях отношение $%|x'(0)|/||x||$% можно сделать сколь угодно близким к единице, и тогда из этого будет следовать, что норма функционала равна $%1$%.

Здесь нужны такие функции, у которых в нуле производная равна 1, и максимум модуля производной на отрезке тоже равен 1, а значения функции при этом будут малы. Годится, например, семейство функций $%x_n(t)=\frac1n\sin nt$%. Очевидно, что $%x_n'(t)=\cos nt$%, что равно 1 в нуле и по модулю не больше 1 на всём отрезке. А максимум модуля равен $%\frac1n$%. Поэтому $%||x_n||=\frac1n+1$%. Отношение $%|x_n'(0)|/||x||$% равно $%\frac{n}{n+1}$%, и оно стремится к 1 при $%n\to\infty$%.

А вот если бы нормой в пространстве функций был просто максимум модуля, то из этого же примера следовало бы, что функционал является неограниченным (норма равна бесконечности).

ссылка

отвечен 15 Дек '13 0:26

Спасибо большое, еще раз, прям огроменное Вы меня спасли

(15 Дек '13 10:52) VanHalen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709
×3,619
×643

задан
14 Дек '13 10:03

показан
6758 раз

обновлен
15 Дек '13 10:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru