Доказать, что если для последовательности {x<sub>n</sub>} сходится ряд ∑ n от 1 до ∞ ρ(x<sub>n</sub>,x<sub>n+1</sub>), то последовательность является фундаментальной.

Изображение

задан 14 Дек '13 10:14

изменен 14 Дек '13 10:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я так понимаю, в условии дано метрическое пространство $%\langle X,\rho\rangle$%. О таких вещах желательно упоминать явно. С чисто формальной точки зрения, буква $%\rho$% может означать что угодно.

Положим $%d_n=\rho(x_n,x_{n+1})$%. В условии сказано, что числовой ряд (с неотрицательными членами) $%d_1+d_2+\cdots+d_n+\cdots$% сходится. Значит, последовательность его частичных сумм $%S_n=d_1+d_2+\cdots+d_n$% является фундаментальной. Согласно определению, для любого $%\varepsilon > 0$% существует $%N=N(\varepsilon)$% такое, что $%|S_n-S_m| < \varepsilon$% для всех натуральных $%m,n\ge N$%.

Это же число можно использовать для установления фундаментальности последовательности $%x_n$% точек метрического пространства. Для того же самого значения $%\varepsilon$% рассмотрим расстояние между $%x_m$% и $%x_n$%. Ввиду симметричности метрики, можно без ограничения общности считать, что $%m < n$%, так как при $%m=n$% расстояние равно нулю. Тогда, в силу неравенства треугольника, $%\rho(x_m,x_n)\le\rho(x_m,x_{m+1})+\cdots+\rho(x_{n-1},x_n)=d_m+\cdots+d_{n-1}=S_{n-1}-S_{m-1}$%. Эта величина неотрицательна и совпадает со своим модулем. При $%m,n\ge N+1$% она будет меньше $%\varepsilon$%. Из этого вытекает фундаментальность последовательности, в соответствии с определением.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 13:55

Спасибо большое)

(14 Дек '13 17:47) VanHalen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,766
×2,116
×331

задан
14 Дек '13 10:14

показан
903 раза

обновлен
14 Дек '13 17:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru