Есть формула n-ого члена разложения в ряд Маклорена. Требуется определить интервал её справедливости. Но вычислить получается только два интервала, разбив формулу на два слагаемых. Что произойдет с интервалами? Можно ли как-то определить интервал сходимости ряда, разбив его на два слагаемых?

задан 14 Дек '13 14:33

Что такое "интервал справедливости"? И о какой функции здесь идёт речь?

(14 Дек '13 14:39) falcao

Не знаю как сюда записать формулу( Функцию ln(1-x-12x^2) разложил в ряд Маклорена. Формула n-ого члена имеет вид (((-1)^(n-1))((3x)^n)-(4x)^n)/n . Надо найти при каких икс она будет справедлива.

(14 Дек '13 14:43) gohaa
10|600 символов нужно символов осталось
0

Теперь понятно, что Вы имели в виду.

Прежде всего, ряд для функции $%\ln(1+z)$% сходится при $%-1 < z\le1$%. Если мы положим $%z=-x-12x^2$%, то получим два неравенства: $%12x^2+x-1 < 0$%, для которого $%x\in(-1/3;1/4)$%, и $%12x^2+x+1\ge0$%, которое выполнено всегда.

Теперь посмотрим на формулу $%n$%-го члена того степенного ряда, который получился. Коэффициент при $%x^n$% имеет вид $$a_n=-\frac{4^n+(-3)^n}{n}.$$ На "качественном" уровне тут можно сказать, что основную роль играет выражение $%4^n$%, и именно оно всё определяет. Для нахождения радиуса сходимости рассматриваемого степенного ряда можно применить формулу Коши - Адамара. Для этого надо извлечь корень $%n$%-й степени из модуля коэффициента при $%x^n$%. Получится следующее: $$\sqrt[n]{|a_n|}=4\sqrt[n]{\frac{1+(-3/4)^n}n}\,.$$ Предел при $%n\to\infty$% существует и равен $%4$%. Значит, радиус сходимости степенного ряда равен $%1/4$%, то есть при $%|x| < 1/4$% он сходится, а при $%|x| > 1/4$% расходится. Случаи $%x=\pm1/4$% рассматриваются отдельно. При $%x=-1/4$% ряд оказывается сходящимся, а при $%x=1/4$% -- расходящимся.

Надо заметить, что в общем случае, если $%n$%-й коэффициент ряда имеет вид суммы или разности, то разбиение ряда в сумму двух слагаемых можно осуществлять только при условии сходимости этих рядов по отдельности. Это в общем случае мало что даёт, так как ряды могут расходиться, а их разность -- сходиться.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 16:14

Спасибо огромное!

(14 Дек '13 17:07) gohaa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×354
×54
×35

задан
14 Дек '13 14:33

показан
1229 раз

обновлен
14 Дек '13 17:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru