сходимость-ряда - Интервал сходимости суммы рядов

Теперь понятно, что Вы имели в виду.

Прежде всего, ряд для функции $%\ln(1+z)$% сходится при $%-1 < z\le1$%. Если мы положим $%z=-x-12x^2$%, то получим два неравенства: $%12x^2+x-1 < 0$%, для которого $%x\in(-1/3;1/4)$%, и $%12x^2+x+1\ge0$%, которое выполнено всегда.

Теперь посмотрим на формулу $%n$%-го члена того степенного ряда, который получился. Коэффициент при $%x^n$% имеет вид $$a_n=-\frac{4^n+(-3)^n}{n}.$$ На "качественном" уровне тут можно сказать, что основную роль играет выражение $%4^n$%, и именно оно всё определяет. Для нахождения радиуса сходимости рассматриваемого степенного ряда можно применить формулу Коши - Адамара. Для этого надо извлечь корень $%n$%-й степени из модуля коэффициента при $%x^n$%. Получится следующее: $$\sqrt[n]{|a_n|}=4\sqrt[n]{\frac{1+(-3/4)^n}n}\,.$$ Предел при $%n\to\infty$% существует и равен $%4$%. Значит, радиус сходимости степенного ряда равен $%1/4$%, то есть при $%|x| < 1/4$% он сходится, а при $%|x| > 1/4$% расходится. Случаи $%x=\pm1/4$% рассматриваются отдельно. При $%x=-1/4$% ряд оказывается сходящимся, а при $%x=1/4$% -- расходящимся.

Надо заметить, что в общем случае, если $%n$%-й коэффициент ряда имеет вид суммы или разности, то разбиение ряда в сумму двух слагаемых можно осуществлять только при условии сходимости этих рядов по отдельности. Это в общем случае мало что даёт, так как ряды могут расходиться, а их разность -- сходиться.