0
1

Дан ряд:

$$\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5\cdot3} + \frac{x^7}{7\cdot5} - \frac{x^7}{9\cdot7}+... $$

Продифференцировав его три раза, получилось:

$$S'''(x)= 2-4x^2+6x^4-8x^6+...=2(1-2x^2+3x^4-4x^6+...)$$

Теперь чтобы найти сумму геом. ряда по:

$$S'''(x)=2\frac {a}{1-q} $$

Необходимо найти $%q$%

задан 14 Дек '13 14:55

изменен 14 Дек '13 15:04

falcao's gravatar image


193k1632

В превью Latex отображается верно :\

(14 Дек '13 15:00) Oregon

@Oregon: здесь встроенный редактор как-то специфически реагирует на "звёздочки", а также на подчёркивания. И часто бывает так, что preview работает нормально, а в виде текста получается искажение.

(14 Дек '13 15:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Геометрическая прогрессия тут не возникает, потому что есть дополнительные коэффициенты. Третий раз дифференцировать не нужно. Достаточно одно раза или двух. После первого дифференцирования (с обоснованием равномерной сходимости и прочего) получается ряд $%S'(x)=x(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\cdots),$% где в скобках стоит всё тот же ряд для арктангенса. Он относится к числу "табличных", чем и следует воспользоваться. Останется проинтегрировать функцию $%x\arctan x$%, а это несложно. Получится $%\frac12(x^2+1)\arctan x-\frac12x$% (с учётом равенства $%S(0)=0$%).

Сам по себе ряд для арктангенса, если на него не ссылаться, сводится к продифференцированному ряду $%1-x^2+x^4-x^6+\cdots$%. Здесь как раз возникает сумма геометрической прогрессии, равная $%1/(1+x^2)$%, при интегрировании которой арктангенс и получается.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 15:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×550

задан
14 Дек '13 14:55

показан
2356 раз

обновлен
14 Дек '13 15:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru