|
Дан ряд: $$\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5\cdot3} + \frac{x^7}{7\cdot5} - \frac{x^7}{9\cdot7}+... $$ Продифференцировав его три раза, получилось: $$S'''(x)= 2-4x^2+6x^4-8x^6+...=2(1-2x^2+3x^4-4x^6+...)$$ Теперь чтобы найти сумму геом. ряда по: $$S'''(x)=2\frac {a}{1-q} $$ Необходимо найти $%q$% задан 14 Дек '13 14:55 
Oregon |
|
Геометрическая прогрессия тут не возникает, потому что есть дополнительные коэффициенты. Третий раз дифференцировать не нужно. Достаточно одно раза или двух. После первого дифференцирования (с обоснованием равномерной сходимости и прочего) получается ряд $%S'(x)=x(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\cdots),$% где в скобках стоит всё тот же ряд для арктангенса. Он относится к числу "табличных", чем и следует воспользоваться. Останется проинтегрировать функцию $%x\arctan x$%, а это несложно. Получится $%\frac12(x^2+1)\arctan x-\frac12x$% (с учётом равенства $%S(0)=0$%). Сам по себе ряд для арктангенса, если на него не ссылаться, сводится к продифференцированному ряду $%1-x^2+x^4-x^6+\cdots$%. Здесь как раз возникает сумма геометрической прогрессии, равная $%1/(1+x^2)$%, при интегрировании которой арктангенс и получается. отвечен 14 Дек '13 15:16 
falcao |
В превью Latex отображается верно :\
@Oregon: здесь встроенный редактор как-то специфически реагирует на "звёздочки", а также на подчёркивания. И часто бывает так, что preview работает нормально, а в виде текста получается искажение.