Найдите сумму всех целых значений аргумента x, при которых соответствующие значения функции y=x^2 + x (log_5 2 - log_2 10) - log_2 25 - 3log_5 2 не превосходят 7.

задан 14 Дек '13 21:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$x^2+x(\log_52-\log_210)-\log_225-3\log_52\le7$$

Введём обозначение $%a=\log_25$% и выразим все логарифмы через $%a$%. Получится такое неравенство: $$x^2+x(1/a-a-1)-2a-3/a-7\le0.$$ Будем его решать как обычное квадратичное неравенство с параметром, находя дискриминант: $%D=(1/a-a-1)^2+4(2a+3/a+7)=a^2+10a+27+10/a+1/a^2$%. Коэффициенты здесь обладают симметрией, и можно всё выразить через $%b=a+1/a$%. Получится $%D=(a+1/a)^2-2+10(a+1/a)+27=b^2+10b+25=(b+5)^2$%. Теперь корни квадратного уравнения находятся в явном виде: $%x=((a+1-1/a)\pm(a+1/a+5))/2$%. Это числа $%a+3$% и $%-1/a-2$%. Первое из них равно $%x_1=\log_25+3=\log_240\approx5,\ldots$%; второе равно $%x_2=-(\log_52+2)=-\log_550=-2,...$%. Множеством решений квадратичного неравенства будет отрезок $%[x_2;x_1]=[-2,\ldots;5,\ldots]$%, и в него попадают все целые числа от -2 до 5 включительно. Их сумма теперь легко подсчитывается.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 22:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,696

задан
14 Дек '13 21:37

показан
2521 раз

обновлен
14 Дек '13 22:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru