$$\int_1^{+\infty}(1-e^{x^{-2/3}\sin x})dx$$Абсолютной сходимости не будет, а как доказать что условная будет? Я попробовал расписать по Тейлору ,но получил оценку расходящимся рядом сверху, из-за степени икса

задан 14 Дек '13 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

Идея такая: график представляет собой серию затухающих колебаний. Поэтому надо разбить числовую прямую на отрезки вида $%[2k\pi;(2k+1)\pi]\cup[(2k+1)\pi;(2k+2)\pi]$%. На левых половинках синус положителен, и функция меньше нуля. На правых -- наоборот. Если теперь оценить интегралы на каждой из этих частей по первому приближению, то положительные и отрицательные части друг друга компенсируют. Модуль суммарного значения оценивается здесь величиной порядка $%k^{-4/3}$%, и такой ряд будет сходиться.

На уровне технической реализации, надо для каждой части отрезка ввести параметризацию вида $%x=2k\pi+\alpha$% для одной половины и $%x=(2k+1)\pi+\alpha$% для другой, сложить это всё вместе и проинтегрировать по $%\alpha$% в пределах от нуля до $%\pi$%.

ссылка

отвечен 14 Дек '13 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Разложение в ряд Тейлора должно дать $%x^{-2/3}\sin x-\dfrac{1}{2}x^{-4/3}\sin^2x+o(x^{-1-\delta}),$% но уже второй член - это $%o(x^{-1-\delta}),$% поэтому он сходится абсолютно и потому на сходимость суммы не влияет.
А условную сходимость первого слагаемого можно доказать по признаку Дирихле ($%\int\sin xdx$% ограничена, $%x^{-2/3}$% монотонно убывает).

ссылка

отвечен 14 Дек '13 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×276
×226

задан
14 Дек '13 22:45

показан
565 раз

обновлен
15 Дек '13 9:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru