На доске выписаны три натуральных числа при этом каждая цифра использована одинаковое четное число раз. Известно что второе число равно сумме цифр первого а третье однозначно и равно сумме цифр второго. Найти третье число

задан 15 Дек '13 8:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Воспользуемся признаком делимости на 9, согласно которому разность числа и его суммы цифр всегда делится на 9. Если $%A$%, $%B$%, $%C$% -- рассматриваемые числа, то $%A-B$% и $%B-C$% делятся на 9. Помимо всего прочего, сумма всех используемых цифр кратна удвоенной сумме всех десятичных цифр, то есть 90. Из этого следует, что $%A+B+C$% кратно 9, и это же верно относительно числа $%3C$% (остатки от деления на 9 у всех чисел одинаковы). Отсюда следует, что $%C$% делится на 3. Поскольку $%C$% состоит из одной цифры, оно равно 3, 6 или 9. Покажем, что первые два случая невозможны.

Если $%C=3$%, то сумма цифр числа $%B$% равна трём. Тогда сумма цифр, входящих в $%B$% и $%C$%, равна 6. Ввиду того, что сумма всех цифр кратна 90, получаем, что сумма цифр числа $%A$% имеет вид $%90m-6$%, то есть оканчивается цифрой 4. Но это есть не что иное как число $%B$%, и тогда его сумма цифр не равна 3.

Пусть теперь $%C=6$%. У числа $%B$%, согласно условию, сумма цифр также равна 6, и получается, что $%A$% имеет вид $%90m-12$%, оканчиваясь на 8. Этого снова не может быть, так как в состав числа $%B$% цифра 8 не входит.

Остаётся единственный вариант $%C=9$%. Он возможен, так как можно рассмотреть число $%A$%, в состав которого каждая из цифр входит дважды, кроме 2, 7, 9, входящих однократно. Тогда $%B$% как сумма цифр числа $%A$% равно $%90-2-7-9=72$%, а число $%C$% равно $%7+2=9$%. Все условия при этом выполняются.

ссылка

отвечен 15 Дек '13 15:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,095
×520
×213

задан
15 Дек '13 8:26

показан
824 раза

обновлен
15 Дек '13 15:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru