Здравствуйте, люди добрые. Помогите, пожалуйста, с функаном. В пространстве l2 рассмотрим множество M тех последовательностей, все координаты которых положительны. Будет ли M открыто? Ответ обосновать.

задан 15 Дек '13 11:30

изменен 8 Апр '14 13:43

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Нет, не будет.

Рассмотрим какой-нибудь элемент из $%M$% -- например, последовательность $%x_n=1/n$% ($%n\in{\mathbb N}$%). Она принадлежит $%l_2$%, так как ряд $%\sum_{n\ge1}1/n^2$% сходится.

Если множество $%M$% открыто, то для всякого $%x\in M$% существует некоторая $%\varepsilon$%-окрестность, содержащаяся в $%M$%, где $%\varepsilon > 0$%. Под окрестностью мы понимаем окрестность в метрическом пространстве с метрикой $%\rho(a,b)=||a-b||$%, где $%||y||=\sqrt{\langle y,y\rangle}=\sqrt{\sum_{n\ge1}y_n^2}$%. Выберем натуральное число $%m > 1/{\varepsilon}$% и рассмотрим последовательность $%z_n$%, где $%z_m=0$% и $%z_n=x_n$% при всех $%n\ne m$%. Ясно, что эта последовательность принадлежит $%l_2$%, но при этом не принадлежит $%M$%. Расстояние между последовательностями $%x_n$% и $%z_n$% в точности равно $%1/m$%, и потому меньше $%\varepsilon$%. Получили противоречие с предположением, что $%M$% открыто.

ссылка

отвечен 15 Дек '13 14:09

Спасибо,вам большое,выручили

(15 Дек '13 14:15) ivan145

Извините,преподаватель придирается,мол рассматриваем точку,а не последовательность,говорит мол,что здесь легче доказать открытость

(18 Дек '13 14:56) ivan145

@ivan145: а я точку пространства $%l_2$% как раз и рассматриваю. Она "по совместительству" является последовательностью, так как само пространство $%l_2$% состоит из последовательностей. По-моему, это доказательство является достаточно лёгким. Конкретные возражения готов выслушать, но пока что я их не вижу. Если кто-то рассуждал немного по-другому, такое вполне возможно -- способов доказательства, как правило, бывает много. Ответ дан? Обоснование дано? Значит, требования выполнены. А если есть какие-то дополнительные требования, то их надо включить в условие.

(18 Дек '13 15:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×639

задан
15 Дек '13 11:30

показан
907 раз

обновлен
18 Дек '13 15:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru