Здравствуйте,уважаемые математики. Помогите,пожалуйста по функану. A:L2→L1 Ax=(α1x1,α2x2,…) При каких условиях на последовательность (αn) существует обратный оператор

задан 15 Дек '13 11:46

Неплохо бы уточнить кое-какие детали условия. Например, подразумевается ли здесь, что последовательность $%(\alpha_n)$% принадлежит $%l_2$% (буква $%l$% здесь, судя по всему, маленькая)? В этом случае образ автоматически принадлежит $%l_1$%, а если это не дано, то нужно проверять условие, что образ будет лежать в $%l_1$%.

Далее, подразумевается ли, что обратный оператор должен быть не просто линейным, а ещё и ограниченным?

(15 Дек '13 16:01) falcao

Здесь есть ещё одна тонкость. Надо уточнить, откуда и куда действует обратный оператор. Если его определять на подпространстве, то есть образе оператора $%A$%, то тогда всё просто: надо $%n$%-й член поделить на $%\alpha_n\ne0$%. То есть тут получится, что все $%\alpha_n$% должны быть ненулевыми. Это не очень интересно, и тогда естественно спросить, когда существует оператор $%B\colon l_1\to l_2$% такой, что $%AB={\rm id}_{l_2}$%.

Хотелось бы иметь дело с предельно чёткими условиями, чтобы нигде не приходилось "гадать".

(15 Дек '13 17:25) falcao

Ну, тогда просто $%\alpha_n\ne0$% при всех $%n\ge1$%. Обратное отображение будет иметь вид $%(y_1,y_2,...)\mapsto(y_1/\alpha_1,y_2/\alpha_2,...)$%.

(15 Дек '13 19:45) falcao

Сформулируйте, пожалуйста, точную версию условия, ничего не пропуская. Надо сказать, из какого множества берётся последовательность $%\alpha_n$%, и на каком пространстве должен быть задан обратный оператор. Также следует оговорить его свойства (типа: линейность, непрерывность, ограниченность).

(15 Дек '13 21:15) falcao

Уточняю условие A:L2→L1 Ax=(α1x1,α2x2,…) При каких условиях на последовательность (αn) существует обратный оператор.Оператор здесь просто линейный,также,как я понял,нужно проверить случаи,что оператор берется из l1,и оператор берется из l2.

(17 Дек '13 5:28) ivan145
10|600 символов нужно символов осталось
0

Оператор $%A:l_2\to l_1$%.

Оператор имеет обратный, если $%\forall y\in l_1 \exists\,x\in l_2: ~Ax=y$%.

Возьмём произвольный $%y\in l_1$%. Нам известно, что $%\sum\limits_{i=1}^\infty |y_n|$% сходится.

Если этот элемент $%x$% существует, то $%x=\left\{\frac{y_n}{\alpha_n}\right\}_{n=1}^\infty$%

Отсюда следует условие $%\forall n\geq 1 ~\alpha_n\ne0$%.

Кроме того, необходима сходимость $%\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{y_n^2}{\alpha_n^2}$%

Поскольку $%l_1\subset l_2$%, ряд $%\sum\limits_{n=1}^\infty y_n^2$% сходится.

Обращаясь к признаку Абеля, мы можем сформулировать следующее условие: Последовательность $%\left\{\frac{1}{\alpha_n^2}\right\}_{n=1}^\infty$% монотонна и ограничена

ссылка

отвечен 17 Дек '13 9:28

изменен 17 Дек '13 10:35

@MathTrbl: чтобы обратный оператор существовал, нужна ещё единственность прообраза $%x%.

Признак Абеля действует только в одну сторону. Из сходимости ряда мы никаких выводов о монотонности сделать не можем. Вообще, если переставить две координаты, то монотонность явно нарушится, а на сходимость рядов это не повлияет.

Эту задачу вообще надо начинать решать с выявления необходимого и достаточного условия (для последовательности $%\alpha_n$%), при котором образ оператора $%A$% лежит в $%l_1$%. Достаточным условием будет $%\alpha\in l_2$%. Обратное тоже верно, но это нетривиально.

(17 Дек '13 16:15) falcao

@ivan145: отвечаю здесь на один из Ваших комментариев. Я настаиваю на грамотности формулировок, потому что в этом контексте небрежности очень дорого обходятся. Прежде всего, здесь нет пространств $%L_1$% и $%L_2$%, как уже было выяснено. Далее, что значит "оператор берётся из $%l_1$% (или $%l_2$%)"? Он ведь не принадлежит множеству последовательностей, а действует откуда-то и куда-то. Тут сразу целая серия задач возникает, и часть из них весьма нетривиальна.

(17 Дек '13 16:19) falcao

Извините,спросил еще раз все у преподавателя ,оператор здесь действует из l2 в l2,то есть A:l2->l2

(18 Дек '13 14:51) ivan145

@ivan145: ну вот, условие поменялось ещё один раз! А я ведь с самого начала рассматривал именно такую версию как более естественную и более простую! Мне кажется, имеет смысл заново задать этот вопрос для случая $%A\colon l_2\to l_2$%.

(18 Дек '13 14:56) falcao

A:l2→l2 Ax=(α1x1,α2x2,…) При каких условиях на последовательность (αn) существует обратный оператор.Задал вопрос еще раз,с другими условиями

(18 Дек '13 15:31) ivan145
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×639

задан
15 Дек '13 11:46

показан
710 раз

обновлен
18 Дек '13 15:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru