Найти значения с, при которых уравнение имеет только единственное решение. $$2log_{7}(cx-2)=log_{\sqrt{7}}(-x^2-9x-18)$$

задан 15 Дек '13 17:19

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$2log_{7}(cx-2)=log_{\sqrt{7}}(-x^2-9x-18) \Leftrightarrow log_{\sqrt{7}}(cx-2)=log_{\sqrt{7}}(-x^2-9x-18) \Leftrightarrow $$

$$\Leftrightarrow\begin{cases}cx-2=-x^2-9x-18\\ -x^2-9x-18>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}cx-2=-x^2-9x-18\\ x\in(-6;-3)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+(c+9)x+16=0\\x\in(-6;-3)\end{cases} $$

Чтобы последняя система имела только одно решение, достаточно требовать $%f(-6)\cdot f(-3)<0,$% где $% f(x)=x^2+(c+9)x+16.$% Ясно, что при $%f(-6)\cdot f(-3)>0$% первое уравнение системы в промежутке $%(-6;-3)$% не может иметь только одно решение (оно в этом промежутке или не имеет решений, или имеет два решения). Остается прoверить случай, когда один из корней совпадает с концамы промежутка $%(-6;-3).$% Если $%f(-3)=0 \Leftrightarrow c=-\frac23$% то второй корень по теореме Виета будет $%-\frac{16}3\in (-6;-3).$% Значит $%c=-\frac23$% тоже удовлетворяет.Если $%f(-6)=0 \Leftrightarrow c=-\frac13$% то второй корень по теореме Виета будет $%-\frac{16}6\notin (-6;-3).$% Значит $%c=-\frac13$% не удовлетворяет.$%$% Получается $%c\in [-2/3;-1/3).$%

ссылка

отвечен 15 Дек '13 18:54

изменен 15 Дек '13 22:56

(6;9)- по - моему, неверно

(15 Дек '13 19:09) epimkin

По моему тоже, должно быть (-6;-3). Спасибо.

(15 Дек '13 19:27) ASailyan

@ASailyan: условие $%f(-6)f(-3) < 0$% неточное. Оно приводит к ответу $%c\in(-2/3;-1/3)$%, но там ещё одна из концевых точек подходит.

(15 Дек '13 20:00) falcao

@falcao, только что освободилась от дел и исправила. Но ответ все равно не совпадает с ответом epimkin.

(15 Дек '13 23:10) ASailyan

Ну, у нас не совпадают только граничные точки( наоборот). Сейчас подставим, да проверим

(15 Дек '13 23:25) epimkin

@ASailyan: я сейчас сравнил ответы: у Вас теперь всё верно, а у @epimkin при анализе концов отрезка допущены неточности.

Я, кстати, сам решал немного по-другому, хотя это и не очень принципиально. Смотрел условие, когда второй корень, равный $%16/x$%, не попадает в интервал $%(-6;3)$%. Из этого следовало, что $%x\in(-6;-16/3]$%, а потом уже на этом промежутке брал множество значений (функция там монотонна) и приравнивал эти значения к $%-(c+9)$%.

(15 Дек '13 23:26) falcao
1

Проверил, у меня неправильно, нужно наоборот

(15 Дек '13 23:38) epimkin
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

Не совсем уверен, отвлекался

ссылка

отвечен 15 Дек '13 18:46

в ответе -1/3?

(15 Дек '13 18:51) Amalia

Минус - минус, отвлекся

(15 Дек '13 19:07) epimkin

@epimkin , Вы не смотрели случай, когда $%f(-3)=0,$% и $%f(-6)>0.$%

А когда $%f(-6)=0$% , и $%f(-3)<0,$% то система не имеет решений.

(15 Дек '13 23:16) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
15 Дек '13 17:19

показан
484 раза

обновлен
15 Дек '13 23:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru