Есть поле $%\mathbb F$%, в котором $%q$% элементов. $%V$% - векторное пространство на $%\mathbb F$% с размерностью $%n$%. Нужно доказать, что $%V$% содержит ровно $%q^n$% элементов

Моя идея такова: раз у векторного пространства размерность n, значит его базис также состоит из n векторов. Соответственно, каждый элемент поля мы может представить $%n$%-ным количеством способов (по каждому из базисов)...

Верны ли мои рассуждения? И если да, то как это оформить математически "грамотно"?

задан 16 Дек '13 6:04

изменен 16 Дек '13 6:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

У всякого векторного пространства имеется базис (хотя бы один). Число векторов любого базиса равно размерности пространства. Вообще говоря, базисов имеется много, и здесь надо зафиксировать какой-то один. Обозначим его через $%v_1$%, ..., $%v_n$%. Тогда, согласно одному из определений базиса, для любого вектора $%v\in V$% существуют и единственны такие элементы поля $%\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{\mathbb F}$%, для которых выполняется равенство $$v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$$ (эти числа называются координатами вектора $%v$% в заданном базисе). Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие между множеством векторов и множеством упорядоченных наборов из $%n$% элементов, принадлежащих полю. Такой набор вида $%(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$% можно составить $%q\cdot q\cdot\ldots\cdot q=q^n$% способами по правилу произведения в комбинаторике. Значит, $%V$% имеет в точности $%q^n$% элементов.

ссылка

отвечен 16 Дек '13 14:19

Спасибо. А еще по поводу базисов, как найти их число в данном случае?

(16 Дек '13 17:42) c2478952

Задача нахождения числа базисов решается так. Будем строить линейно независимую систему из $%n$% векторов. На первое место можно взять любой ненулевой вектор; их всего имеется $%q^n-1$%. На второе место годится любой вектор, не пропорциональный первому. Таких имеется $%q^n-q$%. Третий по счёту вектор может быть любым, если он не выражается через первые два, то есть не принадлежит двумерному подпространству из $%q^2$% элементов. Он может принимать $%q^n-q^2$% значений. И так далее. Итого по правилу произведения будет $$(q^n-1)(q^n-q)\ldots(q^n-q^{n-1})$$ базисов в $%V$%. Порядок векторов важен.

(16 Дек '13 18:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216

задан
16 Дек '13 6:04

показан
598 раз

обновлен
16 Дек '13 18:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru