В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной AB=12. На продолжении диагонали CA за точку A выбрана точка H так, что AH=3CA. Отрезок SH=6 перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Какой наибольший объем V может иметь цилиндр, расположенный внутри пирамиды так, что одно из его оснований лежит на основании пирамиды? В ответе укажите величину V/π.

задан 16 Дек '13 20:23

Похожая задача рассматривалась здесь. Хотя там немного по-другому проведена высота пирамиды, принципиальной разницы в способе решения нет. Мы проводим секущую плоскость параллельно основанию и размещаем внутри пирамиды цилиндр максимального размера, расположенный снизу от этой плоскости, вписывая основание цилиндра в квадрат, возникающий при сечении. Потом решаем задачу на экстремум.

(16 Дек '13 23:33) falcao

@falcao: Я попытался определить, как учесть, что высота пирамиды падает в стороне от основания и думаю, что надо найти высоту той части, которая находится над основанием пирамиды. Я считаю, что ее надо искать из подобия, т. к. АН = 3СА, то СН = 4СА и тогда получается SH/h = CH/AC; h = (ACхSH)/CH = (ACх6)/(4хAC) = 1,5. Ну а дальше решать по Вашей методике. Я прав или нет? Заранее благодарен.

(23 Дек '13 13:59) serg55

@serg55: я бы рассмотрел сечение плоскостью $%SCA$%, и тогда понятно, что высота $%h$% находится в пределах от 0 до 3/2. При заданной высоте легко вычислить диаметр цилиндра, помещающегося в пределах рисунка. Далее через $%h$% выражается объём и при помощи производной находится наибольшее значение функции. По-моему, оно достигается при $%h=1/2$%. Ответ, вроде бы, $%16\pi$%, если я нигде не ошибся. Но желательно перепроверить.

(23 Дек '13 15:07) falcao

@falcao: У меня получился наибольший объем 8π, при h = 1/2, а 16π - это у меня получилась площадь основания цилиндра.

(23 Дек '13 18:30) serg55
1

@serg55: значение $%h$% совпало, но почему получился такой радиус (или диаметр) основания цилиндра? Проверьте на всякий случай. Там всё происходит на диагонали, то есть расстояния умножаются на $%\sqrt2$%. Может быть, дело в этом?

(23 Дек '13 20:12) falcao

@falcao: Огромное спасибо. Я наконец-то разобрался. Чтобы было понятнее даже из скрепок и пластилина слепил условие задачи и на самом деле убедился в Вашей полной правоте. Стороны квадрата, куда вписано верхнее основание цилиндра параллельны диагонали квадрата основания пирамиды и поэтому надо умножить на sqrt(2). С уважением.

(23 Дек '13 20:58) serg55
1

@serg55: очень хорошо! Я рад, что всё прояснилось и совпало. Проверка вычислений при помощи "подручных" средств -- вещь также очень полезная.

(23 Дек '13 21:06) falcao

@falcao: Еще раз большое спасибо! С уважением.

(23 Дек '13 21:17) serg55

При заданной высоте легко вычислить диаметр цилиндра, помещающегося в пределах рисунка. чем они связаны?

(2 Янв '14 22:42) nastena6938

все равно не понимаю как связать с диаметром:(

(2 Янв '14 23:41) nastena6938

@Эндрю: давайте сделаем так: Вы опишете все построения в обозначениях, а потом покажете то место, которое вызывает трудности. Нужно рассматривать диагональное сечение, и вписывать туда прямоугольник. Его основание при заданной высоте однозначно находится, а это и есть диаметр. Или, если умеете вставлять рисунки (лично я не знаю, как это делать), то можно картинку "приаттачить". В обозначениях будет совсем просто объяснить.

(2 Янв '14 23:49) falcao

до момента где Вы получили 3\2 все понятно и это тоже, а как высота стала 1\2 и как нашли диаметр?)к сожалению я тоже не умею прикреплять рисунки..

(3 Янв '14 20:07) nastena6938

@Эндрю: придётся всё-таки словами описать. Есть треугольник $%SCH$%. Нам про него все известно -- в частности, отношение двух его катетов. Рассмотрим прямую, параллельную $%CA$%, идущую от неё на расстоянии $%h$%. От треугольника $%SCA$% она внизу отсекает трапецию. В неё вписываем прямоугольник (сечение цилиндра). Нижнюю его сторону обозначим через $%KA$%. Её длина равна диаметру цилиндра. Поскольку $%AC$% известно, достаточно найти $%CK$%. Это делается через подобие треугольников: $%CK:h=CH:SH$%.

(3 Янв '14 20:40) falcao

Я тоже не могу понять(( что-то не сходится

(6 Янв '14 15:58) Isabella messs

@Isabella messs: если Вы хотите разобраться, то покажите свои рассуждения. Тогда можно будет подсказать что-то конкретное.

(6 Янв '14 16:05) falcao

я решала по подобию задачи,представленной в ссылке, нашла высоту и точку наибольшего значения, но не могу найти макс.объем..

(6 Янв '14 16:17) Isabella messs

в моей задаче несколько иные цифровые значения: AB=9 AH=4CA SH=5.. Рассуждая отталкиваясь от решения представленной задачи, я выявила, что h=1;S=9π. В самом конце задачи, пр-й в ссылке, h=3/2, как это нашли??

(6 Янв '14 16:44) Isabella messs

и в итоге объем получился 3π. Но мне кажется, что в чем-то может быть ошибка

(6 Янв '14 17:06) Isabella messs

@Isabella messs: я не хочу проверять правильность арифметических вычислений, но готов обсуждать ход решения и какие-то математические трудности, которые при этом возникают. Значения для разных чисел могут получиться разные. Если Вы действовали по предложенной схеме и решили задачу на экстремум, где получилось значение h=1, то это косвенно говорит о том, что значение найдено верно (хотя не даёт никакой гарантии). Какие у Вас основания думать, что допущена ошибка?

Про 3/2: это длина перпендикуляра, проходящего через $%A$%, в пересечении с треугольником. Это верхняя граница для значений h.

(6 Янв '14 17:16) falcao

Спасибо большое за помощь. Я разобралась.

(6 Янв '14 17:52) Isabella messs
показано 5 из 20 показать еще 15
10|600 символов нужно символов осталось
1

В приведенном решении найден наибольший объем "прямого" цилиндра, вписанного в пирамиду (Цилиндра, направляющая которого совпадает с высотой). Но ведь цилиндр может быть наклонный и в условии нет ограничения? В задача, описанной как "похожая" высота пирамиды совпадает с ребром и рассмотрение прямоугольного цилиндра оправдано, но тут все-таки другая задача?

ДОПОЛНЕНИЕ Рассматриваю задачу, приведенную в "шапке". Обозначим О - пересечение диагоналей квадрата в основании пирамиды и проведем SO. Осуществим проецирование квадрата из параллельного основанию сечения Х путем переноса параллельно SO. Получим наклонный параллелепипед с основанием на основании пирамиды. В него впишем цилиндр. Высота такого цилиндра не ограничена "максимально возможными 3/2" и максимальный его объем больше (32 Пи). Что тут не правильно?

ссылка

отвечен 7 Янв '14 12:56

изменен 9 Янв '14 19:13

@katya: если разрешить цилиндру располагаться как угодно, то задача делается очень сложной. Поэтому в условии присутствует явная оговорка, что одно из оснований цилиндра лежит на основании пирамиды. Это и есть почти то, что Вы упомянули (направляющая совпадает с высотой). Но не в точности то, поскольку в Вашем случае можно было бы брать цилиндры с "промежуточным" расположением между двумя плоскостями, что также усложняет анализ.

(7 Янв '14 15:05) falcao

@katya: Вы рассматриваете наклонный параллелепипед, описание которого понятно. Далее Вы вписываете в него цилиндр, но не указываете, какими именно способом. Если одно из его оснований лежит на основании пирамиды, как это требуется в условии, то непонятно, каким образом его высота может быть больше 3/2.

(10 Янв '14 7:02) falcao

Если сделать проекцию квадрата из параллельного сечения пирамиды на основание ABCD параллельно SO, то, по-моему мнению, проекция окажется в плоскости основания и внутри квадрата ABCD (смотрим сечения плоскостями BDS и проходящими через S и середины сторон квадрата ABCD). Вписываю основания цилиндра в квадраты на основании и в плоскости параллельного сечения. Высота естественно оказывается вне цилиндра. Ограничение по высоте существует только для прямого цилиндра. Я, видимо, где-то ошибаюсь, но понять, где - не могу.

(11 Янв '14 1:09) katya

@katya: теперь всё прояснилось. Я с самого начала рассматривал эту задачу как если бы речь шла именно о прямом цилиндре. Ничего другого даже не рассматривал как вариант. Вообще, в математике и слово "цилиндр", и слово "конус" могут рассматривать в обобщённом смысле, но в школьных задачах всё-таки "по умолчанию" цилиндр всегда прямой. Вот, например, фраза из Вики-статьи: "В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей."

(11 Янв '14 1:57) falcao

Задача-то олимпиадная и нигде не оговорено, что цилиндр прямой. Следовательно он может быть наклонный...

(11 Янв '14 11:19) katya

@katya: в олимпиадных задачах для школьников действуют те же соглашения, что и в школе. Скажем, система счисления "по умолчанию" считается десятичной, а если нужна другая, то это особо оговаривается. Я сейчас заглянул в один из школьных учебников (Атанасян et al). В параграфе 59 даётся определение цилиндра, где в основании лежит круг, а образующие перпендикулярны ему. В самом конце параграфа сказано, что вообще-то можно рассматривать и наклонные цилиндры, но мы под словом "цилиндр" будет везде понимать прямой круговой. А вот для призм уже соглашение другое.

(11 Янв '14 14:36) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

ответ опять в общем виде $$a = AB; AH = k\cdot CA; SH = H;$$
$$V/\pi = a^2\cdot H/(27(k+1)) = 12$$ для наших данных $$18-3-4$$

идея простая $$r\cdot \sqrt{2} = x/2;$$ $$x = H_1C_1 - HA$$ вычисляется последовательно из подобия.... $$V/\pi = r^2\cdot h =...$$ удобно еще в процессе обозначить диагональ $%AC = d = a\cdot \sqrt{2}; R = r\cdot \sqrt{2}$%

ссылка

отвечен 8 Янв '14 1:03

изменен 11 Апр '14 19:59

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Решил задачу со своими числами $%(AB=6, SH=15, AH=4CA)$% по алгоритму, приведенному @falcao в первом ответе на вопрос. Получил ответ $%20\pi$%, но $%AH=4CA$% не учел. И как учесть не понимаю.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 11:28

изменен 11 Апр '14 19:57

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@Vsevolod: ответ $%20\pi$%, судя по всему, неправильный. Если расскажете свой ход решения, то можно будет проанализировать на предмет ошибки.

(19 Янв '14 11:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
16 Дек '13 20:23

показан
4322 раза

обновлен
19 Янв '14 11:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru