$$\int_0^{+\infty}\sin(\alpha{\rm sh\,}x)\,dx;\qquad E=[1/2;+\infty)$$

Делаю замену $${\rm sh\,}x=t$$ получается интеграл $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin(\alpha t)}{\sqrt{t^{2}+1}}dt$$

Непрерывность не нарушается, $$\sin(\alpha t)\leqslant1,$$ а $$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}$$ не зависит от альфа, и стремится к нулю, следовательно сходится равномерно по Дирихле

задан 16 Дек '13 20:35

изменен 16 Дек '13 22:32

falcao's gravatar image


253k23650

1

А в чём заключается Ваш вопрос? Там, по идее, надо обосновывать ещё равномерную ограниченность интегралов от $%\sin\alpha t$%, но $%\alpha$% отделено от нуля, поэтому этот факт будет верен.

(16 Дек '13 23:37) falcao

вопрос правильно ли мое рассуждение

(17 Дек '13 7:49) Jhon
1

@Jhon: оно почти правильно, но для применения признака Дирихле равномерной сходимости нужно проверить равномерную ограниченность интегралов вида $$\int_0^A\sin\alpha t\,dt.$$ См. формулировку признака. Здесь всё интегрируется в явном виде, и за счёт $%\alpha\ge1/2$% получается требуемое ограничение.

(17 Дек '13 17:03) falcao

А как формально записать проверку на равномерную ограниченность?

(18 Дек '13 22:15) Jhon

$$\left|\int_0^A\sin\alpha t\,dt\right|=\frac1{\alpha}|1-\cos\alpha A|\le\frac2{\alpha}\le4$$ с учётом $%\alpha\ge1/2$%. Интеграл вычислен здесь как разность значений первообразной на концах отрезка. Разность единицы и косинуса по модулю не больше двух, что очевидно.

(18 Дек '13 22:29) falcao

Спасибо, я так и предполагал

(19 Дек '13 7:41) Jhon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×276
×133

задан
16 Дек '13 20:35

показан
2079 раз

обновлен
19 Дек '13 7:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru