Доказать, что при q, |q|<=1, геометрическая прогрессия (xn ) является ограниченной.

Доказать,чтопри q, |q|>1,геометрическая прогрессия (xn) не является ограниченной.

задан 16 Дек '13 21:31

изменен 17 Дек '13 20:15

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

В принципе, это факт из учебника. В первом случае по свойствам неравенств имеем $%|q^n|=|q|^n\le1$%. Если $%x_n=cq^n$% (кстати, если быть формально точным, то в условии надо было сказать, что речь о геометрической прогрессии со знаменателем $%q$%, а не о какой попало), то $%|x_n|\le|c|$% для всех $%n\in{\mathbb N}$%. Это доказывает ограниченность.

Для второго случая обычно используется неравенство Бернулли: $%(1+a)^n\ge1+na$% при $%a > 0$% и натуральных значений $%n$%. Оно сразу следует из распределительного закона для чисел (биномиальную формулу использовать даже не обязательно). Применяется оно так: $%|q| > 1$%; полагаем $%|q|=1+a$%, где $%a > 0$%. Тогда $%|q^n|=|q|^n > 1+na > na$%. Неограниченность последовательности $%x_n=cq^n$% означает, что для любого $%M > 0$% найдётся $%n$% такое, что $%|x_n| > M$%. Здесь это будет верно при натуральном $%n > \frac{M}{a|c|}$%. Делить на $%|c|$% здесь можно, так как $%c\ne0$% в соответствии с определением геометрической прогрессии.

ссылка

отвечен 16 Дек '13 22:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×44

задан
16 Дек '13 21:31

показан
1339 раз

обновлен
16 Дек '13 22:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru