Здрасте, нужна помощ, не могу понять как решать интеграл от комплексной функции http://pumpshooter.com/i0WmLoNx вот интеграл

$%\int_{1}^{i}(3z^{4}-2z^{3})dz$%

Знаю лишь, что по формуле Ньютона-Лейбница, но мое решение получается настолько громоздким, что мне кажется я делаю что-то не так, а уж на КР где много задач и дают всего 45 минут, не поставят настолько сложные интегалы, прошу помочь решить более рациональным способом, пожалуйста

задан 16 Дек '13 23:37

изменен 16 Дек '13 23:57

А где тут громоздкие вычисления? С учётом того, что функция степенная, а $%i^4=1$%, ответ можно вычислить даже устно. Если Вы покажете или опишете свой способ решения, то можно будет выяснить, что именно было сделано не так.

(16 Дек '13 23:43) falcao

я начинаю походу делать бред 1) заменяю z=x+iy 2) отделяю действительную и мнимую часть, что было видно u(x,y) И v(x,y) 3) посдставляю в формулу Н-Л ах да скобки я раскрываю по формулам куб суммы и тд... я явно что-то недопонимаю

(16 Дек '13 23:45) Olegdex

скобки вообще надо раскрывать?

(17 Дек '13 1:30) Olegdex

Интегрирование тут должно быть комплексное. Формулы для первообразных такие же точно.

Раскрытия скобок тут как такового нет: можно проинтегрировать всё сразу, как обычно. А можно записать интеграл как разность двух интегралов. Это фактически равноценно. Второй интеграл, кстати, равен нулю за счёт того, что $%z^4$% имеет одинаковые значения в точках $%i$% и $%1$%.

(17 Дек '13 2:26) falcao

Кажется я показался дураком, не знающим как решать интегралы, но я упустил немало важное условие постановки задачи...

ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ по ОТРЕЗКУ ПРЯМОЙ

Практически все задания у меня даны со степенью, я уверен что раскрывать тот же куб суммы $%(x+iy)^{3}$% здесь не рационально, ведь так?

$%\int_{AB}^{}f(z)dz=\int_{AB}^{}(udx-vdy)+i\int_{AB}^{}(vdx+udy)$% вот по этой формуле я решаю, + подставив в ней я определяю отрезок, заменяю в интеграле например y на этот отрезок и ставлю пределы интегрирования по Х

(17 Дек '13 8:43) Olegdex

Вы знаете формулу в вещественном случае: $%\int_a^b x^3dx$%?. Здесь считается точно так же, и раскрывать ничего не надо. Поскольку этот интеграл (и это должно было быть дано на лекциях) не зависит от пути интегрирования, а лишь от конечных точек.

(17 Дек '13 9:14) MathTrbl

Так не надо делать. В этом конкретном случае всё абсолютно так же, как и в вещественном. $%\int_a^b z^ndz=\frac{z^{n+1}}{n+1}\Bigr|_a^b$%

(17 Дек '13 10:05) MathTrbl
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Спасибо конечно, но ход решения здесь такой: 1)Проверяем на аналитичность комплексную функцию и если она: a)Аналитична то считаем как обычный определенный интеграл б)Не аналитична то считаем как криволинейный интеграл по какому-то отрезку !

ссылка

отвечен 17 Дек '13 12:11

Вы говорите об общем принципе решения. Он именно такой и есть, но в данном случае интегрируется многочлен, а это аналитическая функция, поэтому значение интеграла не зависит от того, по какому пути мы интегрируем. И, конечно, здесь надо использовать обычные формулы для первообразных, о чём и было сказано.

(17 Дек '13 16:57) falcao

Дело в том, что я хоте услышать то что здесь надо учесть аналитичность, я понимаю что это элементарная аналитическая функция, но до сегодняшнего дня я этого не знал))спасибо!)

(17 Дек '13 17:41) Olegdex

В таких случаях многие вещи подразумеваются как самоочевидные. Все такие функции аналитичны, что устанавливается вместе с формулами нахождения производных и прочим. То же касается интегрирования и так далее. Ясно, что когда применяется формула с участием первообразных, то это всё имеется в виду заранее.

(17 Дек '13 18:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482
×226

задан
16 Дек '13 23:37

показан
3191 раз

обновлен
17 Дек '13 18:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru