В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота пирамиды SA=1. Найдите радиус шара вписанного в данную пирамиду..

задан 17 Дек '13 16:41

изменен 17 Дек '13 20:17

Deleted's gravatar image


126

Тут в условии есть явное несоответствие. Если пирамида обозначена как $%SABCD$%, то в основании лежит не треугольник, а четырёхугольник.

(17 Дек '13 16:44) falcao

Пардон, SABC

(17 Дек '13 16:47) Leva319
10|600 символов нужно символов осталось
2

Эту задачу можно довольно быстро решить при помощи подсчёта объёмов. Нам здесь известна площадь основания пирамиды и её высота. Отсюда легко находится объём. Далее, если соединить центр вписанного шара с вершинами, то получатся четыре пирамиды с одинаковыми высотами, равными радиусу шара. Если сложить объёмы этих пирамид, то получится объём всей пирамиды. Из этих соображений следует, что объём пирамиды равен $%\frac13rS$%, где $%S$% -- сумма площадей всех граней пирамиды. Её легко подсчитать, и отсюда сразу выражается $%r$%.

Этот способ быстро приводит к ответу, но его недостаток в том, что теория объёмов в курсе стереометрии изучается в самом конце, а задача этого типа может быть предложена раньше. Поэтому рассмотрим другой способ.

Пусть $%O$% -- центр вписанного шара, а $%r$% -- его радиус. Из соображений симметрии следует, что точка $%O$% лежит в плоскости, проходящей через высоту $%SA$% и середину $%K$% стороны $%BC$%. Треугольник $%SAK$% можно нарисовать на отдельном чертеже. Точка $%O$% лежит на биссектрисе угла при вершине $%K$%. Ясно, что $%AK=\sqrt3$%, $%SK=2$%. Пусть $%O_1$% -- проекция точки $%O$% на $%AK$%. Расстояние $%OO_1$% равно $%r$%, и теперь можно выразить расстояние $%O_1K$%. Для этого можно сначала найти котангенс угла $%OKO_1$%. Угол здесь равен 15 градусам, поскольку $%SKA$% равен 30 градусам. Это можно сделать через формулы половинного угла, но можно обойтись и без тригонометрии, применив свойство биссектрисы. Она делит сторону $%SA$% в отношении $%KS:KA=2:\sqrt{3}$%, то есть отрезки имеют длины $%2t$% и $%\sqrt3t$%. В сумме они равны $%SA=1$%, откуда $%t=1/(2+\sqrt3)$%, а сами отрезки равны $%2/(2+\sqrt3)$% и $%\sqrt3/(2+\sqrt3)$%. Из подобия треугольников $%KOO_1$% и $%KLA$%, где $%L$% -- основание биссектрисы, находим $%O_1K=r(KA:AL)=r(2+\sqrt3)$%.

Теперь спроектируем точку $%O_1$% на прямую $%AB$% в плоскости основания пирамиды. Пусть $%O_2$% -- основание опущенного перпендикуляра. Расстояние $%O_1O_2$% равно $%r$%, так как это расстояние от точки $%O$% до плоскости $%SAB$%. Действительно, прямая $%OO_1$% параллельна $%SA$%, а потому параллельна плоскости $%SAB$%. Расстояние от точки $%O$% до этой плоскости, равное $%r$%, равно расстоянию до этой же плоскости от точки $%O_1$%. Оно измеряется по перпендикуляру, но прямая $%O_1O_2$% перпендикулярна как $%AB$% (по построению), так и $%SA$% (поскольку $%O_1O_2$% лежит в основании пирамиды). Таким образом, $%O_1O_2=r$%, но при этом $%O_1O_2$% есть катет прямоугольного треугольника $%AO_1O_2$% с углом 30 градусов при вершине $%A$%. Из этого следует, что $%AO_1=2O_1O_2=2r$%.

Теперь можно составить уравнение: $%\sqrt3=AK=AO_1+O_1K=2r+(2+\sqrt3)r$%, откуда $$r=\frac{\sqrt3}{4+\sqrt3}=\frac{4-\sqrt3}{13}.$$

ссылка

отвечен 17 Дек '13 18:45

Огромное спасибо

(17 Дек '13 19:29) Leva319
10|600 символов нужно символов осталось
2

Легко выводится формула $% V_{SABC}=\frac13 \cdot S_{пол.}\cdot r,$% где $%S_{пол.}$%- площадь полной поверхности пирамиды, а $%r$%-радиус вписанного шара (аналог формулы $%S=\frac{Pr}2$% в пространстве).

ссылка

отвечен 17 Дек '13 18:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×508

задан
17 Дек '13 16:41

показан
11643 раза

обновлен
17 Дек '13 19:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru