Найти минимум линейной функции f(x)=(задать можно любую функцию,по возможности,удобную для решения),на эллипсе 3/2x1^2+x1x2+x^2-x1+x2<=(Здесь можно задать любое число,чтобы удобно решать было).Прошу привести один пример решения этой задачи,функцию f(x) можно взять свою и число тоже. Заранее спасибо

задан 18 Дек '13 17:21

@ivan145, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(8 Апр '14 13:40) Angry Bird
10|600 символов нужно символов осталось
0

Давайте возьмём какое-то значение и рассмотрим, например, эллипс $$\frac32x_1^2+x_1x_2+x_2^2-x_1+x_2=1.$$ Допустим, мы хотим минимизировать значение линейной функции $%h(x_1,x_2)=3x_1-x_2$% (константу не прибавляем, так как от неё нечего не зависит). Полагаем $%h(x_1,x_2)=c$%, и ищем максимальное возможное значение $%c$% для точек эллипса. Выражаем $%x_2=3x_1-c$% через $%c$% и подставляем в уравнение эллипса. Получается уравнение $$\frac{27}2x^2+(2-7c)x+c^2-c-1=0,$$ в котором для удобства заменено $%x_1$% на $%x$%. Вопрос теперь ставится так: при каком наименьшем $%c$% данное квадратное уравнение (относительно $%x$%) обладает действительными корнями? Ответ даётся через дискриминант: $%D=58+26c-5c^2\ge0$%. Находим корни $%c_1\le c_2$% этого квадратного уравнения, и тогда множеством решений неравенства будет $%c\in[c_1;c_2]$%. Наименьшее подходящее нам значение $%c$% будет равно $%c_1$%, то есть меньшему из корней. В данном случае это $%c=\frac{13-3\sqrt{51}}5$%.

Теперь можно найти точку $%(x_1;x_2)$%, в которой достигается этот минимум. Прежде всего, $%x_1=x$% -- это корень квадратного уравнения $%\frac{27}2x^2+(2-7c)x+c^2-c-1=0$%, где $%D=0$%, откуда $%x_1=\frac{7c-2}{27}$%. Соответственно, $%x_2=3x_1-c$%.

ссылка

отвечен 18 Дек '13 18:13

А нельзя эту же задачу сделать по принципу который приведен в первом ответе,то есть по тому алгоритму,то есть с использованием функции Лагранжа

(18 Дек '13 18:15) ivan145

Можно, но это приведёт к тому же самому. Дело в том, что когда выводили уравнения эллипса, то получали сумму квадратов выражений, зависящих от $%x_1$% и $%x_2$%. Здесь же эти значения связаны линейной зависимостью (через параметр $%c$%). Поэтому после подстановки выражения для $%x_2$% надо будет снова раскрывать скобки, выделяя полный квадрат для $%x_1$%. А это в точности эквивалентно процедуре нахождения дискриминанта. То есть упрощения за счёт этого не достичь -- там будут только лишние действия.

(18 Дек '13 18:25) falcao

Нет,мне не нужны упрощения,мне нужен сам пример по этому алгоритму,если можно falcao

(18 Дек '13 18:32) ivan145

Сформулируйте, пожалуйста, что именно Вам нужно. Я не знаю, что в данном случае имеется в виду под "этим алгоритмом". Решать я могу только те задачи, у которых имеется постановка. У Вас здесь было написано: найти минимум линейной функции на эллипсе. Я показал, как это делается, то есть привёл чисто математическое решение. Если Вы считаете, что оно в чём-то неправильно, укажите на ошибку. Если умеете решать лучше, короче, экономнее -- решите своим способом.

(18 Дек '13 18:48) falcao

Нет,нет извините в первом ответе на этот вопрос приведен алгоритм,да он не лучше,но если вас не затруднит,можете решить именно по схеме,которая дана в первом ответе

(18 Дек '13 18:52) ivan145

Одни и те же задачи можно решать разными способами. Возьмём школьную геометрию. Там можно дополнительно потребовать, чтобы задача решалась без тригонометрии. Или наоборот. То есть требование решить задачу определённым способом вполне "законно", но оно должно быть явно сформулировано. Вы говорите о неком "алгоритме", но я не понимаю, что это означает. Способ решения первой задачи можно назвать "алгоритмом", но это относится к составлению уравнения эллипса, а не к нахождению минимума линейной функции. В принципе, у меня есть одно предположение относительно того, что может иметься в виду.

(18 Дек '13 19:06) falcao

В прошлый раз было составлено уравнение вида $%U^2+V^2=k$%, где $%U$%, $%V$% -- линейные выражения. Можно тогда выразить $%x_1$%, $%x_2$% через $%u$%, $%v$% и подставить в линейную функцию. Тогда получится задача нахождения минимума линейной функции на окружности, и её можно решить через касательные. Это один из способов, и в принципе им тоже можно воспользоваться. Но я не уверен, что Вы говорите именно об этом.

(18 Дек '13 19:09) falcao

нет,я говорю о том методе,где составляется функция лагранжа,потом там через производные решается,я имею,то что написано сверху над вашим ответом,там давался к этому вопросу еще один ответ и приведен алгоритм

(18 Дек '13 19:13) ivan145
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я приведу решение для общего случая. Пусть задана функция $%f(x)$%, которую необходимо минимизировать на множестве $%X=\{(x_1,x_2)|\frac{3}{2}x_1^2+x_1x_2+x_2^2-x_1+x_2\leq a\},a\in\mathbb R$%.

  1. Найдём критические точки функции $%f(x)$% во внутренних точках этого множества, т. е. решим уравнение $%\nabla f=\left\{\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2}\right\}=\{0,0\}$% c ОДЗ $%x\in \text{Int } X$%.
  2. Найдём условный экстремум функции $%f(x)$% на границе области $%\partial X=\{(x_1,x_2)|\frac{3}{2}x_1^2+x_1x_2+x_2^2-x_1+x_2-a=0\}$%, или, что то же самое, найдём критические точки функции Лагранжа $%L(x,\lambda)=f(x)-\lambda\left(\frac{3}{2}x_1^2+x_1x_2+x_2^2-x_1+x_2-a\right)$%

В результате мы получим систему $%\nabla L=\left\{\frac{\partial L}{\partial x_1},\frac{\partial L}{\partial x_2},\frac{\partial L}{\partial x_2}\right\}=\{0,0,0\}$%.

Найдя все точки, отбираем среди них наименьшую. Линейная функция непрерывна, а этот эллипс является замкнутым и ограниченным множеством, следовательно, компактным в конечномерном пространстве $%\mathbb R^2$%, поэтому по теореме Вейерштрасса решение существует.

ссылка

отвечен 18 Дек '13 17:55

Эм,а можно тогда решение для случая f(x)=4x1+x2 На следующем эллипсе 3/2x1^2+x1x2+x^2-x1+x2<=2

(18 Дек '13 18:02) ivan145

@ivan145: я отвечаю здесь, так как внизу всё уже исчерпано. Я думал, Вы говорите о моём решении предыдущей задачи, а не о методе множителей Лагранжа. Кстати, способ приведения формы к каноническому виду тоже носит имя Лагранжа, но это другой метод. В данном случае речь идёт о функциях довольно простого вида, и я бы предпочёл решать эту задачу элементарными способами. Но если Вам нужен непременно метод множителей Лагранжа, то посмотрите примеры его использования в учебниках. Это всё детально описано. Вот пример ссылки на аналогичную задачу.

(18 Дек '13 19:26) falcao

И все-таки не могли бы вы на один пример решение написать

(18 Дек '13 19:37) ivan145

@ivan145: для меня такое предложение звучит несколько странно. Это примерно как если бы Вы попросили меня переписать здесь таблицу умножения. Зачем это делать, и вообще, какова цель? Метод задан, даны ссылки, и если Вы хотите научиться решать, то делайте всё по аналогии. Как только возникнут конкретные трудности, обращайтесь с вопросами. Я тут же готов подсказать, если буду онлайн. Но делать за кого-то чисто техническую работу не вижу никакого смысла. А научить что-то решать -- всегда пожалуйста.

(18 Дек '13 20:42) falcao

falcao,попробую

(18 Дек '13 20:48) ivan145
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×99

задан
18 Дек '13 17:21

показан
1790 раз

обновлен
8 Апр '14 13:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru