Суть задачи в следующем. Имеются две детали. Деталь 1 представляет из себя сегмент сферы с круглым отверстием. Деталь 2 - просто сегмент сферы.

alt text

Деталь 2 имеет внешний радиус меньше чем Деталь 1 на толщину её стенки. Располагаются они относительно друг друга как показано на рисунке.

alt text

Деталь 2 перемещается по внутренней поверхности детали 1 и постепенно перекрывает собой отверстие. Задача - найти зависимость между углом (между осями обеих деталей) и площадью поверхности второй детали, появлящейся в отверстии. Там по-любому должен быть интеграл. Как это считать? Посоветуйте пожалуйста где можно почитать про измерение площадей поверхностей (книжку или ресурс какой-нибудь). Заранее спасибо.

задан 14 Мар '12 13:05

изменен 15 Мар '12 11:06

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

@ХэшКод У меня и Андрея Ивановича возникло желание переделать этот вопрос в общий. Причина: он показался нам интересным и полезным, причем не только автору (который, похоже, после первых ответов потерял интерес к нему).
Но у нас недостаточно баллов, чтобы самим сделать его общим. Может ли модератор сделать это за нас?

(16 Мар '12 20:17) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть

$% R$% -радиус сферы, $% R_{1} $% -радиус цилиндра (отверстия), $% O $%-центр деталей, $% OO_{1} $% - ось второй детали, $% O_{2} $% - точка пересечения оси $%OO_{1} $% отсекающей плоскостью второй детали, $% |OO_{2}|=h $%, $% \alpha $% - угол между осями.

Введем декартову прямоугольную систему координат с центром $%O$%, ось $%z$% направлена вдоль оси первой детали, ось второй детали двигается в плоскости $%xz$%. Уравнение отсекающей плоскости второй детали будет иметь вид $$x \cdot sin(\alpha ) + y + z \cdot cos(\alpha ) = h$$ (плоскость нормальным вектором $%OO_{2}$%, проходящая через точку $%O_{2}$%.

Задача свелась к вычислению интеграла $$\int\int dS $$ по области, заданной условиями $${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$$ $${x}^{2}+{y}^{2}\leq {{R}_{1}}^{2}$$ $$x \cdot sin(\alpha ) + y + z \cdot cos(\alpha ) \geq h$$

Для взятия интеграла перейдем в сферическую систему координат $$x = r \cdot sin(\theta )cos( \varphi),\;\; y=r \cdot sin(\theta)sin(\varphi),\;\; z=r \cdot cos(\theta),$$ первое условие сведется к $%r=R$%, а остальные 2 примут вид $$sin(\theta )(cos(\varphi)sin(\alpha )+sin(\varphi)) + cos(\theta )cos(\alpha ) \geq h/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (a) $$ и $$|sin(\theta )| \leq {R}_{1}/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (b) $$ Интеграл преобразуется в $$R^2 \int\int sin(\theta )d\theta d\varphi \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (c)$$ , т.к. элемент поверхности сферы в сферических координатах $% dS = {R}^{2}sin(\theta )d\theta d\varphi$%

Неравенство (a) позволяет выразить $%\varphi $% через $%\theta$% и, таким образом, свести кратный интеграл к повторному. Первый интеграл (по $%\varphi$%) возьмется явно, второй - скорей всего не возьмется, его придется вычислять численно.

При вычислениях вместо $%{R}_{1}$% и $%h$% удобнее будет ввести углы $%\beta$% и $%\gamma$% , обозначив

$$sin(\beta) = {R}_{1}/R$$ $$cos(\gamma)=h/R.$$

К сожалению, сейчас у меня некоторый цейтнот с делами. Когда появится время - распишу все подробнее.

Дополнение 1. Если интересуют не сами формулы, а возможность вычисления площади перекрытия можно сформулировать следующий простой и эффективный алгоритм (метод Монте-Карло) вычисления непосредственно по формулам (a), (b), (c).

Рассмотрим в пространстве $%( \theta , \varphi )$% прямоугольник $$0 \leq \theta \leq \pi/2 $$ $$0 \leq \varphi \leq 2 \pi $$ и сгенерируем в нем $% N$% случайных точек, те точки $%P_i = ( \theta , \varphi )$%, в которых выполняются условия (a) и (b), назовем допустимыми, и вычислим для допустимых точек величину $%sin(\theta_i) $%. Тогда интеграл (c) можно приближенно вычислить по формуле $$S = 2 \pi R^2 \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_d} sin(\theta_i)$$, где $%N_d $% - количество допустимых точек. Величина $%N$% должна быть такой, чтобы разница значений $%S$% для $%N$% точек и $%N-1$% точки была меньше некоторой заданной достаточно малой величины $%\epsilon$%.

Дополнение 2. Можно повысить эффективность метода Монте-Карло, если вместо переменной $% \theta $% ввести переменную $% u=cos(\theta)$% и рассматривать прямоугольник $$ 0 \leq u \leq 1$$ $$ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi $$ В этом случае площадь перекрытия будет определяться формулой $$S = 2 \pi R^2 \frac{N_d}{N}$$ а неравенства (a), (b) преобразуются в неравенства $$\sqrt{1-u^2}(cos(\varphi)sin(\alpha )+sin(\varphi)) + u \cdot cos(\alpha ) \geq h/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (a^') $$ и $$u \geq \sqrt{1-({R}_{1}/R)^2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (b^') $$

ссылка

отвечен 14 Мар '12 16:14

изменен 20 Апр '12 13:37

Почему-то формулы не отображаются, хотя при редактировании ответа в нижнем окне все отображается правильно.

(15 Мар '12 16:39) Андрей Юрьевич

А как Вы вставляете формулу в текстовую строку? У меня при обрамлении долларами формула вываливается на новую строчку (даже если это одна буква). Поэтому я сделал наоборот - вставил текст внутрь формульных блоков. Пришлось задавать пробелы между словами - отсюда и обилие бэкслэшей.

(15 Мар '12 19:50) Андрей Юрьевич

Исправил ошибку в формуле.

(16 Мар '12 14:44) Андрей Юрьевич

Интеграл все же берется (см. мое решение). Правда, я посчитала только "половину", вторая получается заменой $%\alpha$% на $%\beta$% и $%\theta_0$% на $%\gamma-\theta_0$%, где $%\gamma$% - угол между осями. Мне кажется, что здесь явно нужны сферические координаты, поэтому вместо цилиндров лучше использовать конусы!

(16 Мар '12 17:18) DocentI

Ну конечно, сферические. Просто исходные ограничения я сначала записал в декартовых координатах, а потом перешел в сферические. Но на окончательный результат это повлиять не может - если Ваш интеграл берется, то и мой возьмется - они должны быть эквивалентными.

(16 Мар '12 18:07) Андрей Юрьевич

Похоже, мы решаем задачу друг для друга! Автор куда-то пропал!

(16 Мар '12 18:11) DocentI

Не могли бы вы пояснить по поводу перехода от интеграла ∫∫dS к ∫∫R^2sin(θ)dθdφ. И как его вычислять численно если мы работаем со сферической системой координат?

(18 Апр '12 10:51) phoenix-78

R^2sin(θ) - это якобиан перехода к сферическим координатам. Главное - правильно расставить пределы интегрирования.
А зачем считать интеграл численно? Он находится в элементарных функциях. В моем ответе есть "половина" такого интеграла.

(18 Апр '12 13:59) DocentI

т.е. вы получили эти значения без определения границ интегрирования?

(18 Апр '12 23:25) phoenix-78

Нет, для одного из сегментов, который заштрихован на рисунке. Есть еще один такой сегмент, у которого вместо $%\theta_0, \alpha$% стоит $%\varphi-\theta_0, \beta$%.
Я сделала в свое время выкладки, связывающие $%\theta_0$% с исходными углами, но с тех пор они затерялись.

(19 Апр '12 0:31) DocentI
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
2

Посмотрите что-нибудь по теме "Поверхностный интеграл 1 рода"

Площадь поверхности можно найти как поверхностный интеграл 1 рода от элемента площади dS. Для сферы при использовании сферических координат он имеет вид $%dS=r^2\sin\theta d\varphi d\theta$%, где r - радиус сферы. Угол $%\theta$% отсчитывается от северного направления (которое можно совместить с осью детали или дырки)

Искомая площадь разбивается на два сегмента большим кругом сферы, проходящим через точки пересечения границ дырки и второй детали. Таким образом, надо найти две аналогичных площади и сложить их.
И дырка, и деталь имеют вид сферической "шапочки", от которой этот сегмент и отрезается. Рассмотрим один такой. Пусть, например, он вырезан из сферы радиуса r конусом, образующая которого составляет с осью угол $%\alpha$%. Сегмент отрезается плоскостью $%z = kx, k = ctg\theta_0$%. Тогда он описывается соотношениями $%\theta_0\leq \theta\leq\alpha$%, при фиксированном $%\theta$% границы изменения для $%\varphi$% определяются уравнением плоскости $%z=ctg\theta_0 x$%, переведенном в сферические координаты. Получается уравнение $%\cos\varphi =\frac{ctg\theta}{ctg\theta_0}$%

Вот картинка alt text
Попробовала все же подсчитать площадь одного сегмента. Получается вроде так: $$2r^2(\arccos{(\frac{\sin\theta_0}{\sin\alpha})}-\cos\alpha \arccos(\frac{ctg\alpha}{ctg\theta_0})).$$ Наверное, этим выражениям можно придать геометрический смысл. По крайней мере, $%2\arccos(\frac{ctg\alpha}{ctg\theta_0})$% - это угол того сектора "шапочки", в который вписан сегмент (т.е. он получается из сегмента, если граничные точки соединить с центром). Кроме того, $$2r^2(1-\cos\alpha) \arccos(\frac{ctg\alpha}{ctg\theta_0})$$ - это площадь такого сектора.

Для окончательного решения надо еще найти угол $%\theta_0$% из условия пересечения двух конусов. Если углы конусов не равны, этот угол "выглядит" довольно "плохо".

ссылка

отвечен 15 Мар '12 1:28

изменен 18 Апр '12 14:46

Да, остается только найти зависимость tet0(alpha)

(16 Мар '12 18:21) Андрей Юрьевич

Вернее, от трех параметров (размеры конусов и угол между осями). Я, кстати, нашла, это легко. Только кому это надо? Автор, похоже, в тему не заходит....
Правда, я прочитала в правилах, что бывают общие вопросы, может, преобразовать этот в такой? И дать полное решение.

(16 Мар '12 18:24) DocentI

Я не против. Задача хорошая, да и картинка красивая...

(16 Мар '12 18:57) Андрей Юрьевич

Спасибо вам за ответы. За темой все же слежу. Будем разбираться дальше...

(18 Мар '12 21:16) phoenix-78

Если следите, может, примете чей-нибудь ответ?

(21 Мар '12 20:16) DocentI

Оказвается, свой ответ я могу сделать общим (что я и сделала) Как бы еще сделать таким вопрос? Со своими вопросами я такое проделать не могу...

(22 Мар '12 9:10) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×317
×19

задан
14 Мар '12 13:05

показан
3655 раз

обновлен
20 Апр '12 13:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru