анализ - Вывод зависимости площади сферической поверхности от угла поворота детали

Пусть

$% R$% -радиус сферы, $% R_{1} $% -радиус цилиндра (отверстия), $% O $%-центр деталей, $% OO_{1} $% - ось второй детали, $% O_{2} $% - точка пересечения оси $%OO_{1} $% отсекающей плоскостью второй детали, $% |OO_{2}|=h $%, $% \alpha $% - угол между осями.

Введем декартову прямоугольную систему координат с центром $%O$%, ось $%z$% направлена вдоль оси первой детали, ось второй детали двигается в плоскости $%xz$%. Уравнение отсекающей плоскости второй детали будет иметь вид $$x \cdot sin(\alpha ) + y + z \cdot cos(\alpha ) = h$$ (плоскость нормальным вектором $%OO_{2}$%, проходящая через точку $%O_{2}$%.

Задача свелась к вычислению интеграла $$\int\int dS $$ по области, заданной условиями $${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$$ $${x}^{2}+{y}^{2}\leq {{R}_{1}}^{2}$$ $$x \cdot sin(\alpha ) + y + z \cdot cos(\alpha ) \geq h$$

Для взятия интеграла перейдем в сферическую систему координат $$x = r \cdot sin(\theta )cos( \varphi),\;\; y=r \cdot sin(\theta)sin(\varphi),\;\; z=r \cdot cos(\theta),$$ первое условие сведется к $%r=R$%, а остальные 2 примут вид $$sin(\theta )(cos(\varphi)sin(\alpha )+sin(\varphi)) + cos(\theta )cos(\alpha ) \geq h/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (a) $$ и $$|sin(\theta )| \leq {R}_{1}/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (b) $$ Интеграл преобразуется в $$R^2 \int\int sin(\theta )d\theta d\varphi \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (c)$$ , т.к. элемент поверхности сферы в сферических координатах $% dS = {R}^{2}sin(\theta )d\theta d\varphi$%

Неравенство (a) позволяет выразить $%\varphi $% через $%\theta$% и, таким образом, свести кратный интеграл к повторному. Первый интеграл (по $%\varphi$%) возьмется явно, второй - скорей всего не возьмется, его придется вычислять численно.

При вычислениях вместо $%{R}_{1}$% и $%h$% удобнее будет ввести углы $%\beta$% и $%\gamma$% , обозначив

$$sin(\beta) = {R}_{1}/R$$ $$cos(\gamma)=h/R.$$

К сожалению, сейчас у меня некоторый цейтнот с делами. Когда появится время - распишу все подробнее.

Дополнение 1. Если интересуют не сами формулы, а возможность вычисления площади перекрытия можно сформулировать следующий простой и эффективный алгоритм (метод Монте-Карло) вычисления непосредственно по формулам (a), (b), (c).

Рассмотрим в пространстве $%( \theta , \varphi )$% прямоугольник $$0 \leq \theta \leq \pi/2 $$ $$0 \leq \varphi \leq 2 \pi $$ и сгенерируем в нем $% N$% случайных точек, те точки $%P_i = ( \theta , \varphi )$%, в которых выполняются условия (a) и (b), назовем допустимыми, и вычислим для допустимых точек величину $%sin(\theta_i) $%. Тогда интеграл (c) можно приближенно вычислить по формуле $$S = 2 \pi R^2 \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_d} sin(\theta_i)$$, где $%N_d $% - количество допустимых точек. Величина $%N$% должна быть такой, чтобы разница значений $%S$% для $%N$% точек и $%N-1$% точки была меньше некоторой заданной достаточно малой величины $%\epsilon$%.

Дополнение 2. Можно повысить эффективность метода Монте-Карло, если вместо переменной $% \theta $% ввести переменную $% u=cos(\theta)$% и рассматривать прямоугольник $$ 0 \leq u \leq 1$$ $$ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi $$ В этом случае площадь перекрытия будет определяться формулой $$S = 2 \pi R^2 \frac{N_d}{N}$$ а неравенства (a), (b) преобразуются в неравенства $$\sqrt{1-u^2}(cos(\varphi)sin(\alpha )+sin(\varphi)) + u \cdot cos(\alpha ) \geq h/R \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (a^') $$ и $$u \geq \sqrt{1-({R}_{1}/R)^2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (b^') $$