Подскажите принцип решения пожалуйста и если не сложно посоветуйте материал по данной теме Найти все значения параметра а, при которых система уравнений. 2x + a^2y = 2 - a

(a + 1)x + ay = a^3 - 2a + 2 имеет бесконечно много решений.

задан 18 Дек '13 19:46

изменен 18 Дек '13 19:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Принцип решения здесь простой: представьте себе, что $%a$% приняло какое-то конкретное значение. Например, $%a=4$%. Что при этом получится? Первое уравнение после сокращения на 2 примет вид $%x+8y=-1$%, а во втором будет $%5x+4y=58$%. Как решать такую систему? Надо применить метод исключения неизвестных. То есть выразить $%x$% из первого уравнения через $%y$% и подставить это выражение во второе уравнение. Оно после этого превратится в уравнение, зависящее только от $%y$%. Далее его просто решаем. Я не буду описывать, что получится в данном случае, так как это только пример. Но, предположим, что где-то получилось $%3y=11$%. Тогда $%y=11/3$% находится однозначно, и через него выражается $%x$%. То есть такая система имеет ровно одно решение.

Как может получиться бесконечно много решений? Это бывает только тогда, когда коэффициент при $%y$% после преобразований оказался равен нулю, и на него уже нельзя поделить, находя $%y$%. Но тогда и в правой части уравнения должен оказаться 0, чтобы система имела решения. Иными словами, должно получиться уравнение $%0y=0$%, решением которого является любое число $%y$%, а чисел бесконечно много. Далее загадываем какое хотим значение для $%y$%, через него у нас выражено $%x$%, и это даёт пример решения.

Может быть и так, что система не имеет решений. Так бывает, если возникло уравнение вида $%0y=3$% или какое-то другое с ненулевым числом в правой части. Тогда, конечно, никакое значение $%y$% не подойдёт.

А теперь проделаем то же самое с буквенными выражениями вместо цифр. Из первого уравнения выражаем $%y$% через $%x$%. Получается $%x=1-a/2-a^2y/2$%. Подставляем это выражение во второе уравнение: $%(a+1)(1-a/2-a^2y/2)+ay=a^3-2a+2$%. Удобно домножить это уравнение на 2, а потом раскрыть скобки, привести подобные члены, и записать его так, чтобы оно имело вид $%Ay=B$%, где $%A$%, $%B$% -- какие-то выражения, зависящие от $%a$%. В результате будет так: $$(-a^3-a^2+2a)y=2a^3+a^2-5a+2.$$ Посмотрим на коэффициент при $%y$%. Если он отличен от нуля, то $%y$% выражается однозначно, а через него и $%x$%. То есть тут мы не получим бесконечного множества решений системы. Остаётся рассмотреть случаи, когда этот коэффициент нулевой. Возникает уравнение $%a(a^2+a-2)=0$%, его нужно решить. Получается, что $%a=0$%, или является корнем квадратного уравнения $%a^2+a-2=0$%. Его можно решить через теорему Виета или через дискриминант, и корни там равны $%1$% и $%-2$%. Таким образом, возникают три случая, и их надо отдельно рассмотреть.

При $%a=0$% получается $%0y=2$%. Здесь решений нет. При каждом из значений $%a=1$%, $%a=-2$% получается уравнение $%0y=0$%, и здесь решений бесконечно много.

Как правило, для решения таких задач достаточно обычных знаний на уровне школьной алгебры. И здесь полезно изучать не столько дополнительную теорию, сколько решать упражнения из соответствующих задачников и усваивать какие-то новые приёмы, если они есть.

ссылка

отвечен 18 Дек '13 20:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×465
×431
×96

задан
18 Дек '13 19:46

показан
1928 раз

обновлен
18 Дек '13 20:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru