Решить систему $$a/x-b/z+xz=c\\ b/y-c/x+xy=a \\c/z-a/y+yz=b$$ Подскажите как лучше решать?

задан 19 Дек '13 16:26

изменен 19 Дек '13 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

В условии не оговорено, относительно каких неизвестных надо решать эту систему. По традиции, обычно считается, что $%a$%, $%b$%, $%c$% -- это параметры, а $%x$%, $%y$%, $%z$% -- неизвестные. Мы так и будем считать, но в решении задачи можно менять роли переменных, выражая одно через другое по своему усмотрению. В окончательном варианте можно выбрать, что через что следует выражать.

Прежде всего, система симметрична, и одно из её решений можно найти подбором. В частности, подойдёт такое решение, при котором $%c=xz$%, $%a=xy$%, $%b=yz$%. Но нам нужно найти все решения, поэтому мы сделаем такую замену переменных: $%c=xz+\gamma$%, $%a=xy+\alpha$%, $%b=yz+\beta$%. Мы далее увидим, что $%\alpha=\beta=\gamma=0$%, то есть других решений нет. Подставим все эти выражения в систему, и тогда получится, что $$\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}x-\frac{\beta}z=\gamma \\ \frac{\beta}y-\frac{\gamma}x=\alpha \\ \frac{\gamma}z-\frac{\alpha}y=\beta\end{array}\right.$$ Теперь можно выразить $%\gamma$% из первого уравнения и подставить во второе и третье. Получатся такие равенства: $$\beta\left(\frac1{xz}+\frac1y\right)=\alpha\left(1+\frac1{x^2}\right),$$ $$\alpha\left(\frac1{xz}-\frac1y\right)=\beta\left(1+\frac1{z^2}\right).$$ Теперь надо заметить следующее: коэффициенты при $%\alpha$% и $%\beta$% в правых частях положительны. Поэтому на них можно поделить, и тогда из $%\alpha=0$% будет следовать $%\beta=0$%, и обратно. При этом $%\gamma$% тоже станет равно нулю, что нам и нужно. Поэтому рассмотрим ситуацию, в которой $%\alpha\ne0$%, $%\beta\ne0$%. Из этого будет следовать, что полученные равенства можно почленно перемножить, а затем на $%\alpha\beta\ne0$% сократить. Что приведёт к такому равенству: $$\frac1{(xz)^2}-\frac1{y^2}=1+\frac1{x^2}+\frac1{z^2}+\frac1{(xz)^2}.$$ Заметим, что по условию задачи $%x\ne0$%, $%y\ne0$%, $%z\ne0$% (так как эти числа стоят в знаменателях), и сейчас мы получили, что $$1+\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}=0.$$ Ясно, что так не бывает.

Таким образом, решением могут быть только числа $%a=xy$%, $%b=yz$%, $%c=xz$%. При перемножении получится $%abc=(xyz)^2$%. Это число отлично от нуля, то есть ни одно из чисел $%a$%, $%b$%, $%c$% в ноль не должно обращаться (в противном случае не будет решений). Помимо этого, $%abc > 0$%. Следовательно, $%xyz=\pm\sqrt{abc}$%, и тогда при выборе знака "плюс" перед квадратным корнем получается $%x=(xyz)/(yz)=\frac{\sqrt{abc}}b$%; аналогично, $%y=\frac{\sqrt{abc}}c$%, $%z=\frac{\sqrt{abc}}a$%. Для знака "минус", соответственно, имеем $%xyz=-\sqrt{abc}$%, то есть $%x=-\frac{\sqrt{abc}}b$%; $%y=-\frac{\sqrt{abc}}c$%; $%z=-\frac{\sqrt{abc}}a$%. Такие решения существуют при $%abc > 0$% и только при этом условии.

Заметим, что систему можно было бы с самого начала решать методом исключения неизвестных, выражая $%c$% из первого уравнения и подставляя во второе и третье. Получилось бы примерно то же самое, но мне показалось, что так рассуждать и считать несколько дольше.

ссылка

отвечен 20 Дек '13 0:54

изменен 23 Дек '13 2:36

а можете показать решение если бы мы выражали? или тут можно вычитать и складывать сами уравнения,а то тут, мне сказали есть еще ответ

(22 Дек '13 20:18) Amalia

@Amalia: я сейчас заметил у себя совершенно "детскую" ошибку, допущенную в самом конце. Разумеется, из $%abc=(xyz)^2$% следует $%xyz=\pm\sqrt{abc}$%, то есть случай со знаком минус я в ответ не внёс. Спасибо, что обратили на это внимание. Решать каким-то другим более сложным способом нет смысла: там вероятность допустить какой-нибудь просмотр только увеличится. На самом деле, тут вообще можно применить методы линейной алгебры, но это уже как бы не для школы.

Ошибку сейчас исправлю.

(23 Дек '13 2:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
19 Дек '13 16:26

показан
663 раза

обновлен
23 Дек '13 2:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru