0
1

Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина X равна количеству бросаний кости.

  1. Найдите закон распределения случайной величины X
  2. Найти функцию распределения вероятностей случ величины Х и с помощью её вычислить вероятность События А - Число бросаний > 5
  3. Найти математическое ожидание и дисперсию.

задан 19 Дек '13 17:14

изменен 19 Дек '13 23:04

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вероятность того, что шестёрка первый раз выпадет на $%k$%-м шаге, где $%k\ge1$%, равна $%p_k=(\frac56)^{k-1}\cdot\frac16$%. Эти числа $%p_1$%, $%p_2$%, ... задают закон распределения случайной величины $%X$%.

Функция распределения, если задавать её как $%F(t)=P\{X\le t\}$%, будет иметь "ступенчатый" вид. То есть она равна нулю при $%t < 1$%, далее равна $%p_1=1/6$% при $%t\in[1;2)$%, затем равна $%p_1+p_2=11/36$% при $%t\in[2;3)$% и так далее. Примерный график теперь легко нарисовать ("ступенек" там бесконечно много, и они по "высоте" стремятся к 1).

Теперь $%P(A)=P\{X > 5\}=p_6+p_7+\cdots+p_n+\cdots=\frac16((\frac56)^5+(\frac56)^6+\cdots)$%, то есть $%P(A)=\frac16\frac{(\frac56)^5}{1-\frac56}=(\frac56)^5$% по формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.

Далее, $%MX=1\cdot p_1+2\cdot p_2+\cdots+n\cdot p_n+\cdots$%, и здесь можно воспользоваться следующими равенствами: $$f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\frac1{1-x},$$ $$f'(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\frac1{(1-x)^2},$$ $$f''(x)=2+6x+12x^3+\cdots+n(n-1)x^{n-2}+\cdots=\frac2{(1-x)^3},$$ справедливыми при $%|x| < 1$%. Нас при этом интересуют их значения в точке $%x=5/6$%, поэтому $%p_n=\frac16x^{n-1}$%, то есть $%MX=\frac16(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}+\cdots)=\frac{1/6}{(1-5/6)^2}=6$%, то есть первого выпадения шестёрки в среднем надо ждать на шестом шаге.

Теперь $%MX^2=1^2\cdot p_1+2^2\cdot p_2+\cdots+n^2\cdot p_n+\cdots$%, то есть $%MX^2$% равно $%\frac16(1^2+2^2x+\cdots+n^2x^{n-1}+\cdots)=\frac16(xf''(x)+f'(x))=\frac16(\frac{2\cdot5/6}{(1-5/6)^3}+\frac1{(1-5/6)^2})=66$%. Отсюда дисперсия равна $%DX=MX^2-(MX)^2=66-6^2=30$%.

ссылка

отвечен 20 Дек '13 3:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,954
×310
×175

задан
19 Дек '13 17:14

показан
6409 раз

обновлен
20 Дек '13 3:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru