Производная сложной функции

Это правило доказывается в курсе математического анализа. Но всегда полезно осознать, почему верен именно такой факт, то есть в чём заключается причина.

Здесь нужно иметь в виду вот какое основное соображение. Рассмотрим самый простой случай, когда имеется две функции вида $%f(x)=ax$% и $%g(x)=bx$%. Производными здесь будут угловые коэффициенты, то есть сами числа $%a$%, $%b$%. Допустим, мы образовали сложную функцию, то есть композицию $%f(g(x))$%. Что это за функция? Непосредственно видно, что это $%a(bx)=(ab)x$%. Каков теперь стал угловой коэффициент? Видно, что она равен произведению $%a\cdot b$%, а это и есть $%f'(g(x))\cdot g'(x)$%.

В общем случае, когда функции имеют более сложный вид, действует тот же закон, потому что основная идея анализа состоит в возможности приблизить любую "хорошую" функцию вблизи одной точки при помощи линейной функции. Этому соответствует проведение касательной, уравнение которой имеет вид $%y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$%. Это линейная функция, и она вблизи точки $%x_0$% наилучшим образом приближает функцию $%f(x)$%. И если с двумя линейными функциями проделать процедуру, аналогичную описанной выше, то угловые коэффициенты также перемножатся.

Есть ещё такая форма записи этого правила в классических обозначениях анализа: $$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}.$$ Это равенство приведено здесь на уровне символики, и оно как бы "очевидно" в том смысле, что $%dy$% внутри "сокращается". В таком виде легко запомнить сам принцип. Здесь $%z=f(y)$% есть функция от $%y$%, а $%y=g(x)$% есть функция от $%x$%. И тогда зависимость величины $%z$% от переменной $%x$% описывается как раз в виде сложной функции: $%z=f(g(x))$%. И производная $%z$% по $%x$%, имеющая запись $%dz/dx$%, равна произведению производной $%z$% по $%y$%, то есть $%dz/dy$%, и производной "внутренней" функции $%y$% по $%x$%, то есть $%dy/dx$%. Но это, конечно, не доказательство, а всего лишь форма записи, отражающая некую суть.