У меня есть такое предложение: Пусть N-нормальная подгруппа группы $$ G=(A*B,H=K, \varphi ), R=A \bigcap N, S=B \bigcap N.$$ Тогда $$ R {\rm\ и\ } S\ -\ (H,K, \varphi)$$-совместимые нормальные подгруппы групп A и B соответственно. Док-во: Для доказательства нужно проверить выполнимость требований определения,т.е. $$(H \bigcap R) \varphi =K \bigcap S.$$ Для простоты доказательства эти множества я переписала так: $$H \bigcap R=H \bigcap(A \bigcap N)=(H \bigcap A) \bigcap N=H \bigcap N $$ и аналогично, $$K \bigcap S=K \bigcap N.$$ Теперь нужно показать,что $$(H \bigcap N) \varphi =K \bigcap N.$$ Пусть $$ x \in (H \bigcap N) \varphi $$ , тогда x можно записать в виде $$x=y \varphi $$, где $$y \in H \bigcap N. $$ Вот далее, собственно, и нужна помощь! Кому не сложно,подскажите!

задан 20 Дек '13 18:59

изменен 20 Дек '13 20:19

falcao's gravatar image


253k23650

Фраза после слова "Тогда" исказилась. Исправьте её, пожалуйста, чтобы стало понятно, какой именно факт требуется доказать.

(20 Дек '13 19:39) falcao

не получается, и так не красиво.

(20 Дек '13 19:53) Kseniya

все читаемо, и понятно,что нужно показать два включения.

(20 Дек '13 19:53) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сейчас я понял, что имелось в виду. Здесь чисто теоретико-множественное рассуждение нужно. Прежде всего, рассмотрим случай, когда $%H=K$%, то есть изоморфизм $%\varphi$% является тождественным. Тогда используется лишь тот факт, что $%A$% и $%B$% как подгруппы свободного произведения с объединением пересекаются по $%H$%. Фактически, речь идёт о произвольной группе $%G$% с такими подгруппами, и если $%N$% -- нормальная подгруппа в $%G$%, и $%R=A\cap N$%, $%S=B\cap N$%, то понятно, что $%H\cap R=(H\cap A)\cap N=H\cap N$%, и $%K\cap S=(K\cap B)\cap N=K\cap N$%, то есть получается одно и то же.

В общем случае $%H$% и $%K$% отождествлены посредством изоморфизма $%\varphi$%, который их как бы "склеивает". Формально, есть изоморфизм $%\varphi\colon H\to K$%. В терминах Вашего рассуждения получается, что $%y\in H$%, поэтому $%x=y\varphi\in K$%. При этом $%y$% равно $%x$% в группе $%G$% в силу определяющих соотношений, поэтому если один из элементов принадлежит нормальной подгруппе $%N$%, то это верно и для другого элемента, так как они совпадают. Поэтому из $%y\in N$% следует $%x\in N$%, то есть $%x\in K\cap N$%. Обратное включение для $%\varphi^{-1}$% следует из тех же соображений.

На самом деле, такие задачи, по моему мнению, возникают как следствие неудачно выбранных обозначений. Одни и те же вещи приходится мыслить как разные и как одинаковые одновременно, и отсюда возникает необходимость проверок, которые устанавливают почти тавтологичные факты.

ссылка

отвечен 20 Дек '13 22:38

Т.е. у нас $$y=y \varphi =x$$ в силу определяющих соотношений в группе G??

(20 Дек '13 23:30) Kseniya

Да, это так. Дело в том, что здесь выясняется вопрос о принадлежности элементов группы $%G$% её нормальной подгруппе $%N$%, и в этом случае на $%x$% и $%y$% мы вынуждены смотреть как на элементы группы $%G$%. А там эти элементы просто совпадают. Только этот факт здесь, по сути, и проверяется, а остальное есть "шелуха".

(20 Дек '13 23:42) falcao

именно это строчки мне и не хватало. Только у меня как-то все проще выходит. Т.к. $$х=у \in N$$ и $$х=у \varphi \in K$$ следует,что$$ x\in K \cap N$$

(20 Дек '13 23:48) Kseniya

обратное включение я могу выполнить аналогичным образом?только снизу вверх?или как?

(20 Дек '13 23:50) Kseniya

У меня вместо равенства $%x=y$% сказано, что элементы $%x$% и $%y$% совпадают в группе $%G$%. Это в точности то же самое.

Доказательство обратного включения основано на рассмотрении обратного изоморфизма $%\varphi^{-1}\colon K\to H$%. Рассуждение в точности симметрично предыдущему. Его можно по этой причине не проводить, ограничившись замечанием.

(21 Дек '13 0:03) falcao

спасибо, довели рассуждения. а то под вечер, даже уже ночь, совсем не думалось.

(21 Дек '13 0:27) Kseniya
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
20 Дек '13 18:59

показан
352 раза

обновлен
21 Дек '13 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru