|
У меня есть такое предложение: Пусть N-нормальная подгруппа группы $$ G=(A*B,H=K, \varphi ), R=A \bigcap N, S=B \bigcap N.$$ Тогда $$ R {\rm\ и\ } S\ -\ (H,K, \varphi)$$-совместимые нормальные подгруппы групп A и B соответственно. Док-во: Для доказательства нужно проверить выполнимость требований определения,т.е. $$(H \bigcap R) \varphi =K \bigcap S.$$ Для простоты доказательства эти множества я переписала так: $$H \bigcap R=H \bigcap(A \bigcap N)=(H \bigcap A) \bigcap N=H \bigcap N $$ и аналогично, $$K \bigcap S=K \bigcap N.$$ Теперь нужно показать,что $$(H \bigcap N) \varphi =K \bigcap N.$$ Пусть $$ x \in (H \bigcap N) \varphi $$ , тогда x можно записать в виде $$x=y \varphi $$, где $$y \in H \bigcap N. $$ Вот далее, собственно, и нужна помощь! Кому не сложно,подскажите! задан 20 Дек '13 18:59 
Kseniya |
|
Сейчас я понял, что имелось в виду. Здесь чисто теоретико-множественное рассуждение нужно. Прежде всего, рассмотрим случай, когда $%H=K$%, то есть изоморфизм $%\varphi$% является тождественным. Тогда используется лишь тот факт, что $%A$% и $%B$% как подгруппы свободного произведения с объединением пересекаются по $%H$%. Фактически, речь идёт о произвольной группе $%G$% с такими подгруппами, и если $%N$% -- нормальная подгруппа в $%G$%, и $%R=A\cap N$%, $%S=B\cap N$%, то понятно, что $%H\cap R=(H\cap A)\cap N=H\cap N$%, и $%K\cap S=(K\cap B)\cap N=K\cap N$%, то есть получается одно и то же. В общем случае $%H$% и $%K$% отождествлены посредством изоморфизма $%\varphi$%, который их как бы "склеивает". Формально, есть изоморфизм $%\varphi\colon H\to K$%. В терминах Вашего рассуждения получается, что $%y\in H$%, поэтому $%x=y\varphi\in K$%. При этом $%y$% равно $%x$% в группе $%G$% в силу определяющих соотношений, поэтому если один из элементов принадлежит нормальной подгруппе $%N$%, то это верно и для другого элемента, так как они совпадают. Поэтому из $%y\in N$% следует $%x\in N$%, то есть $%x\in K\cap N$%. Обратное включение для $%\varphi^{-1}$% следует из тех же соображений. На самом деле, такие задачи, по моему мнению, возникают как следствие неудачно выбранных обозначений. Одни и те же вещи приходится мыслить как разные и как одинаковые одновременно, и отсюда возникает необходимость проверок, которые устанавливают почти тавтологичные факты. отвечен 20 Дек '13 22:38 
falcao Т.е. у нас $$y=y \varphi =x$$ в силу определяющих соотношений в группе G??
(20 Дек '13 23:30)
Kseniya
Да, это так. Дело в том, что здесь выясняется вопрос о принадлежности элементов группы $%G$% её нормальной подгруппе $%N$%, и в этом случае на $%x$% и $%y$% мы вынуждены смотреть как на элементы группы $%G$%. А там эти элементы просто совпадают. Только этот факт здесь, по сути, и проверяется, а остальное есть "шелуха".
(20 Дек '13 23:42)
falcao
именно это строчки мне и не хватало. Только у меня как-то все проще выходит. Т.к. $$х=у \in N$$ и $$х=у \varphi \in K$$ следует,что$$ x\in K \cap N$$
(20 Дек '13 23:48)
Kseniya
обратное включение я могу выполнить аналогичным образом?только снизу вверх?или как?
(20 Дек '13 23:50)
Kseniya
У меня вместо равенства $%x=y$% сказано, что элементы $%x$% и $%y$% совпадают в группе $%G$%. Это в точности то же самое. Доказательство обратного включения основано на рассмотрении обратного изоморфизма $%\varphi^{-1}\colon K\to H$%. Рассуждение в точности симметрично предыдущему. Его можно по этой причине не проводить, ограничившись замечанием.
(21 Дек '13 0:03)
falcao
спасибо, довели рассуждения. а то под вечер, даже уже ночь, совсем не думалось.
(21 Дек '13 0:27)
Kseniya
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Фраза после слова "Тогда" исказилась. Исправьте её, пожалуйста, чтобы стало понятно, какой именно факт требуется доказать.
не получается, и так не красиво.
все читаемо, и понятно,что нужно показать два включения.