Найти все значения а, при которых уравнения $$2x^4-5x^3-16ax+25x-10=0$$ и $$2x^4+2ax^3-11x^2-5x+5=0$$ имеют общие корни. Найти эти корни. Я понимаю что тут надо решить систему двух уравнений, но как ее решать?

задан 20 Дек '13 22:46

Был похожий пример вот здесь, но с другими числами. Для такого рода задач вообще-то есть общий алгоритм, основанный на нахождении т.н. результанта двух многочленов, но этот метод в школе не изучается. Поэтому тут надо, конечно, рассуждать как бы "с нуля". Что должно быть в этой задаче, сейчас посмотрим.

(20 Дек '13 22:52) falcao

@falcao Буду очень благодарна если вы поможете

(20 Дек '13 22:57) Amalia

Да, я ответ уже получил, и сейчас всё напишу.

(20 Дек '13 23:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь нужно из двух равенств, справедливых для одного и того же общего корня $%x$%, выводить подходящие следствия, понижая степени.

Прежде всего, вычтем из второго уравнения первое. Получится $%(2a+5)x^3+(16a-11)x^2-30x+15=0$%. Далее можно было бы попытаться разделить одно из исходных уравнений на то, что получилось, но это громоздко, и надо отдельно разбирать случай нулевого коэффициента при $%x^3$%. Поэтому поступим по-другому: выведем из двух исходных уравнений такое, в котором нулю равен свободный член. Ввиду того, что $%x=0$% корнем наших уравнений не является, можно будет сократить на $%x$% и получить уравнение третьей степени. С этой целью мы к удвоенному второму уравнению (из условия) прибавим первое. Это даст $%6x^4+(4a-5)x^3-(16a+22)x^2+15x=0$%, что после сокращения на $%x$% даёт $%6x^3+(4a-5)x^2-(16a+22)x+15=0$%. Сравнивая с тем следствием, которое было получено в начале, мы видим, что в обоих случаях получился свободный член $%15$%, и теперь можно одно уравнение вычесть из другого, вновь сокращая на $%x$%. Тогда возникнет квадратичное равенство $%(2a-1)x^2+(12a-6)x+(16a-8)=0$%, в котором выделяется общий множитель $%2a-1$% и в итоге возникает следующее: $%(2a-1)(x^2+6x+8)=(2a-1)(x+2)(x+4)=0$%. Это означает, что либо $%a=1/2$%, либо общим корнем является одно из чисел $%x=-2$% или $%x=-4$%. По отдельности рассматриваем каждый из случаев.

Если $%a=1/2$%, то уравнения из условия принимают вид $%2x^4-5x^3-8x^2+25x-10=0$% и $%2x^4+x^3-11x^2-5x+5=0$%. Здесь подбором находятся рациональные корни и осуществляется разложение на множители. Первое уравнение принимает вид $%(x-2)(2x-1)(x^2-5)=0$%, а второе $%(x+1)(2x-1)(x^2-5)=0$%. Общими корнями для этого случая будут числа $%1/2$% и $%\pm\sqrt5$%.

Пусть $%x=-2$% (проверка обязательна, так как мы выводили только следствия). Первое уравнение из условия после такой подстановки принимает вид $%12-64a=0$%, то есть $%a=3/16$%. При этом значении получается, что $%(x+2)(2x^3-9x^2+15x-5)=0$% в первом уравнении и $%\frac18(x+2)(16x^3-29x^2-30x+20)=0$%, и у многочленов в скобках других общих корней нет, так как ими могут быть только $%-2$% и $%-4$%, но никоторый из них не годится.

Наконец, пусть $%x=-4$%. Тогда подстановка в первое уравнение даёт $%722-256a=0$%, и $%a=361/128$%. При таком значении уравнения из условия принимают вид $%\frac18(x+4)(16x^3-104x^2+55x-20)=0$% и $%\frac1{64}(x+4)(128x^3-151x^2-100x+80)$%, где кроме $%x=-4$% общих корней нет.

ссылка

отвечен 20 Дек '13 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516
×14

задан
20 Дек '13 22:46

показан
643 раза

обновлен
20 Дек '13 23:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru