значение - Область значений функции

Похожая задача разбиралась здесь, и принцип решения почти тот же, но имеет смысл разобрать и этот вариант, так как отличия всё-таки имеются.

Разберём случай $%a > 0$%. Если для него будут найдены подходящие значения $%a$%, то всё остальное можно не рассматривать, так как требуется найти наибольшее $%a$%.

Область определения состоит здесь из всех $%x$%, для которых $%a\ge x$% и $%ax\ge7$%, то есть $%x\in[7/a;a]$%. Это множество непусто при $%a\ge\sqrt7$%. Функция $%f(x)$%, очевидно, убывает, поэтому $%f(7/a)\ge f(a)$%, и её множеством значений на этом отрезке будет $%[f(a);f(7/a)]$%, откуда для совпадения области определения с множеством значений необходимо и достаточно одновременного выполнения двух условий: $%f(a)=7/a$% и $%f(7/a)=a$%. Это значит, что $%-\frac12\sqrt{a^2-7}+\frac{13}4=\frac7a$% и $%\frac12\sqrt{a-\frac7a}+\frac{13}4=a$%.

Второе из этих уравнений решаем при помощи возведения в квадрат. Возникает кубическое уравнение $%16a^3-108a^2+169a+28=0$%, у которого подбором находится рациональный корень $%a=4$%. Проверка показывает, что он удовлетворяет обоим уравнениям нашей системы. Это значение и будет наибольшим, потому что уравнение можно разложить на множители: $%(a-4)(16a^2-44a-7)$%, и у квадратного уравнения $%16a^2-44a-7=0$%, записанного в виде $%(4a)^2-11(4a)-7=0$%, корни будут соответствовать меньшим значениям $%a$%, что проверяется непосредственно.