Помогите пожалуйста решить уравнение в комплексных числах (sqrt3-i)*x^4=1. i - комплексное число.

задан 21 Дек '13 16:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо воспользоваться тем, что $%\sqrt3-i=2(\cos(-\pi/6)+i\sin(-\pi/6))$%. Будем искать $%x$% в виде $%r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$%. По формуле Муавра, $%x^4=r^4(\cos4\varphi+i\sin4\varphi)$%. Перемножая две тригонометрические формы по правилу "модули перемножаются, аргументы складываются"), получаем $$(\sqrt3-i)x^4=2r^4(\cos(4\varphi-\pi/6)+i\sin(4\varphi-\pi/6))=1.$$ Отсюда следует, что $%2r^4=1$%, то есть $%r=1/\sqrt[4]2$%, и $%4\varphi-\pi/6=2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Тем самым, $%\varphi=\pi k/2+\pi/24$%. Берём 4 значения для $%k=0,1,2,3$%, и получаем 4 решения исходного уравнения: $%x=2^{-1/4}(\cos(\pi/24+\pi k/2)+i\sin(\pi/24+\pi k/2)$% при $%k=0,1,2,3$%. Такая запись не слишком удобна, поэтому можно заметить, что найденные корни имеют вид $%\pm x_0;\pm ix_0$%, где $$x_0=2^{-1/4}(\cos(\pi/24+i\sin(\pi/24)).$$ Косинус и синус угла $%\pi/24$% можно найти, дважды применяя тригонометрические формулы половинного угла, но выражения там получаются очень громоздкие, поэтому я бы оставил ответ именно в таком виде.

ссылка

отвечен 21 Дек '13 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$x=1/\sqrt4$$ $$x=-1/\sqrt4$$ $$x=-i/\sqrt4$$ $$x=i/\sqrt4$$

Сначало нужно выразить x^4, а затем взять корни. Можно для удобства сделать замену x^2=t

ссылка

отвечен 21 Дек '13 17:54

изменен 21 Дек '13 17:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,152

задан
21 Дек '13 16:51

показан
463 раза

обновлен
21 Дек '13 20:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru