$$L_{1}: x = y = z\\ L_{2}: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$$ Отсюда нашёл: $$S_{1}(1, 1, 1);\ \ M_{01}(0, 0, 0)$$ $$S_{2}(1, -1, 2);\ \ M_{02}(1, 0, 0)$$ $$S_{1}\times S_{2} = \big\{3, -1, -2\big\}$$

Осталось найти точку пересечения проекций прямых, чтобы построить нормаль. Но никак не пойму, каким образом найти эту точку.

задан 21 Дек '13 16:57

изменен 22 Дек '13 0:23

Вы говорите о проекциях, но при этом не сказано, куда производится проектирование.

(21 Дек '13 19:54) falcao

@falcao, честно, об этом не подумал. Нужно найти общий перпендикуляр к данным скрещивающимся прямым. Узнал про этот алгоритм и застрял на этом шаге, но куда проецировать, там не было сказано.

(21 Дек '13 20:07) kiecstor

@kiecstor: у меня было такое предположение, что имелось в виду построение общего перпендикуляра, то есть перпендикулярная проекция на плоскость, параллельную каждой из прямых. Но уверенности в этом совершенно не было, поэтому я счёл нужным уточнить.

(21 Дек '13 20:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Возьмём произвольную точку $%A_1$% на прямой $%L_1$%. Она имеет вид $%A_1(x;x;x)$%. Теперь возьмём точку $%A_2$% на прямой $%L_2$%. Для этого в каноническом уравнении приравняем все равные между собой выражения к параметру $%t$%. Выражая отсюда координаты, имеем $%x=t+1$%, $%y=t$%, $%z=2t$%, то есть $%A_2(t+1,t,2t)$%.

Мы хотим, чтобы прямая $%A_1A_2$% была перпендикулярна как $%L_1$%, так и $%L_2$%. Это значит, что скалярное произведение вектора $%\vec{A_1A_2}$% на направляющие векторы каждой из этих прямых, то есть на $%v_1=(1;1;1)$% и $%v_2=(1;1;2)$% равнялось нулю. Исходя из этого, можно составить систему из двух линейных уравнений, а затем её решить. В данном случае для упрощения вычислений можно заметить, что направляющие векторы прямых отличаются на $%(0;0;1)$%, и тогда можно заменить $%v_2$% на $%v_2-v_1=(0;0;1)$%,составляя уравнения. В ответе должно получиться $%A_1=(1;1;1)$% и $%(3/2;1/2;1)$%. Если при этом требуется написать уравнение прямой $%A_1A_2$%, то это делается стандартным способом.

ссылка

отвечен 21 Дек '13 20:42

@falcao, я допустил ошибку, в $%L_{2}$% забыл минус (хотя в направляющем векторе $%S_{2}$% его не забыл): $%L_{2}: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$% В вопросе исправил, но это не столь большая проблема.

Получилась система: $$\begin{cases}\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\ast\overrightarrow{S_{1}}=0\\ \overrightarrow{A_{1}A_{2}}\ast\overrightarrow{S_{2}}=0\end{cases}$$ А дальше опять ступор. Ведь 0 получается из-за $%\cos\alpha=0$%, где $%\alpha$% - прямой угол между $%\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$% и направляющим вектором.

(22 Дек '13 0:39) kiecstor

@kiecstor: при замене 1 на -1 метод остаётся тем же. Точка $%A_2$% теперь равна $%(t+1;-t;2t)$%, а направляющие векторы $%(1;1;1)$% и $%(1;-1;2)$%. Уравнения имеют вид $%\vec{A_1}\cdot\vec{S_1}=\vec{A_2}\cdot\vec{S_1}$% и аналогично для второго. То есть $%3x=1+2t$% и $%2x=6t+1$%. Здесь $%t=-1/14$%, $%x=2/7$%, $%A_1=(2/7;2/7;2/7)$%, $%A_2=(13/14;1/14;-1/7)$%. Никаких проблем нет.

(22 Дек '13 1:17) falcao

@falcao, объясни, пожалуйста, откуда взялось $%\vec{A_{1}}\cdot\vec{S_{1}}=\vec{A_{2}}\cdot\vec{S_{1}}$% и $%3x=1+2t$%. Разве здесь $%A_{1}\ и\ A_{2}$% не точки?

(22 Дек '13 1:52) kiecstor

Это точки, но Вы сами использовали обозначение вида $%\vec{S}$%. Оно корректно, так как это сокращённая форма для $%\vec{OS}$%, где $%O$% -- начало координат. В таких случаях говорят о радиус-векторе точки.

(22 Дек '13 1:59) falcao

@kiecstor: здесь алгебраическая суть совсем простая. Можно, конечно, взять координаты вектора $%\vec{A_1A_2}$%, найдя разность координат конца и начала. А потом домножить этот вектор скалярно на направляющий вектор каждой из прямых, получая два уравнения. Если Вам так понятнее, то сделайте этим способом, а потом сверьте ответ. Я же исходил из того, что $%\vec{A_1A_2}=\vec{OA_2}-\vec{OA_1}$%, и поэтому условие вида $%\vec{A_1A_2}\cdot \vec{v}=0$% чисто алгебраически можно записать как $%\vec{OA_1}\cdot\vec{v}=\vec{OA_2}\cdot\vec{v}$%. Это как для чисел: $%(x-y)z=0$% -- это $%xz=yz$%.

(22 Дек '13 2:34) falcao

@falcao, всё равно запутался. $$\vec{A_{1}}\vec{S_{1}}=\vec{A_{2}}\vec{S_{1}}$$

$$|\vec{A_{1}}|\cdot|\vec{S_{1}}|=|\vec{A_{2}}|\cdot|\vec{S_{1}}|$$

$$\sqrt[2]{3x^{2}} \cdot \sqrt[2]{3} = \sqrt[2]{(t+1)^{2}+t^{2}+4t^{2}} \cdot \sqrt[2]{3}$$

$$3x = \sqrt[2]{(t+1)^{2}+t^{2}+4t^{2}} \cdot \sqrt[2]{3}$$

Как из этого получилось $%3x=1+2t$%? Или я что-то неправильно делаю?

(22 Дек '13 20:55) kiecstor

У Вас ошибка в самом начале. От равенства скалярных произведений нельзя переходить к равенству длин. Это разные вещи. Здесь надо действовать в координатах. Каждый вектор задан координатно, надо обратиться к этой форме. И если бы было так, что вектор $%u$% имеет координаты $%(3,4,5)$%, а вектор $%v$% -- координаты $%(-1;4;2)$%, то на месте $%u\cdot v$%, то есть скалярного произведения, появляется сумма произведений координат, то есть $%3(-1)+4\cdot4+5\cdot2=23$%. Скажем, $%3x$% -- это результат скалярного умножения $%(x;x;x)$% на $%(1;1;1)$%, и так со всеми остальными векторами.

(22 Дек '13 23:49) falcao

@falcao, на этот раз действительно всё понятно, спасибо за объяснение!

(23 Дек '13 1:00) kiecstor
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×835

задан
21 Дек '13 16:57

показан
707 раз

обновлен
23 Дек '13 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru