Найти все значения параметра a, при которых уравнение cos2x+2sinx+4а=1 имеет два различных корня на отрезке (-п;0)

задан 21 Дек '13 22:22

Здесь $%\cos2x$% или $%\cos^2x$% имеется в виду?

(21 Дек '13 22:34) falcao

здесь cos2x (не степень)

(21 Дек '13 23:14) sho
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо уточнить, имеется ли в виду отрезок или интервал. Если это отрезок, то его следует записывать как $%[-\pi;0]$%, то есть включать концы. Я буду исходить из такого толкования.

Рассмотрим функцию $%f(x)=\cos2x+2\sin x$% на отрезке $%x\in[-\pi;0]$%. Её производная равна $%f'(x)=-2\sin2x+2\cos x=2\cos x(1-2\sin x)$%. Поскольку синус принимает на этом отрезке значения не превосходящие нуля, множитель $%1-2\sin x$% положителен, и знак производной определяется знаком косинуса. Производная обращается в ноль при $%x=-\pi/2$%, и эта точка является точкой минимума. На отрезке $%[-\pi;-\pi/2]$% функция убывает от $%f(-\pi)=1$% до $%f(-\pi/2)=-3$%, а на отрезке $%[-\pi/2;0]$% она возрастает до $%f(0)=1$%.

Можно нарисовать примерный график, из которого видно, что функция принимает дважды каждое значение из промежутка $%(-3;1]$%. Поэтому $%1-4a\in(-3;1]$%, то есть $%a\in[0;1)$%.

Если имелся в виду открытый интервал $%(-\pi;0)$%, то будет $%a\in(0;1)$%.

ссылка

отвечен 21 Дек '13 23:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%cos2x+2sinx+4a=1\Leftrightarrow 1-2sin^2x+2sinx+4a=1 \Leftrightarrow sin^2x-2sinx+2a=0.$%

После обозначения $%sinx=t$% получам уравнение $%t^2-t-2a=0.$%

Ясно, что если последнее уравнение имеет решений, то они симметричны относительно $%\frac12$%.Значит по крайней мере один из корней положительный(при $%D=0,t_1=t_2=\frac12 $%). Так-как синус в промежутке $%(-\pi;0)$% ровно два раза принимает только значения $%(-1;0),$% то надо требовать чтобы один из корней кв. уравнения принадлежал $%(-1;0)$%. Это возможно если $%D>0$% и $%f(-1)>0, f(0)<0$%, где $%f(t)=t^2-t-2a.$% Получается $%a\in(0;1).$%

ссылка

отвечен 22 Дек '13 1:30

изменен 22 Дек '13 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×251

задан
21 Дек '13 22:22

показан
1732 раза

обновлен
22 Дек '13 1:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru