Вычислить предел, используя правило Лопиталя lim (2/п arctg x)^x , при х-> бесконечность. Как я понимаю, правило Лопиталя, можно использовать только если есть дробь. Я привел это выражение к такому виду: 1/(2/п arctg x)^-x. Далее берем производные от числителя и знаменателя. В числителе 0. А со знаменателем я не уверен. Но в итоге у меня получается предел 0. Правильно?

задан 22 Дек '13 6:28

Правило Лопиталя можно использовать, только если в пределах имеется $%0/0$% или $%\infty/\infty$%, поэтому то, что вы проделали, неправильно. В ответе @falcao появилась нужная нам неопределённость

(22 Дек '13 9:35) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я думаю, тут сначала надо прологарифмировать и находить предел уже для логарифма. Получается дробь вида $$\frac{\ln(\frac2{\pi}\arctan x)}{\frac1x},$$ и в точке $%x=+\infty$% возникает неопределённость вида 0/0. После дифференцирования числителя и знаменателя получается выражение, стремящееся к $%-2/\pi$%. Соответственно, предел из условия равен $%e^{-2/\pi}$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '13 6:39

я дифференцировал числитель и знаменатель. Не могу понять, как получилось, что это выражение стремится к −2/π?

(23 Дек '13 3:34) Semi-Soft

@Semi-Soft: какие у Вас получились производные для числителя и для знаменателя?

(23 Дек '13 3:41) falcao

числитель = tgx/(1+x^2), знаменатель = -1

(23 Дек '13 3:48) Semi-Soft

@Semi-Soft: проверьте внимательно то, что Вы написали. Разве производная знаменателя равна -1? Там же $%1/x$% стоит. В числителе тоже производная будет не такая. Надо продифференцировать всё по правилам.

(23 Дек '13 4:03) falcao

знаменатель = -1/x^2 а с числителем не могу понять, что не так: d/dx ln(g(x))=(d/dx g(x))/g(x). То есть d/dx ln(2/п arctgx)= (d/dx(2/п arctg x))/(2/п tg^(-1))=(2/(п(1+x^2))/(2/(п tgx))=(2п tgx)/(2п(1+x^2))=tgx/(1+x^2)

(23 Дек '13 4:25) Semi-Soft

@Semi-Soft: у Вас правило в общем виде написано верно. Я бы записал его в форме $%(\ln g(x))'=g'(x)/g(x)$%, без дифференциалов. Так оно проще выглядит. Далее Вы правильно находите $%g'(x)$%, а в знаменателе пишите не то. Там надо буквально (!) переписать выражение, которое стояло под знаком логарифма. Тогда всё легко получится. Заменять арктангенс ни на что не надо. Да, это функция, обратная функции тангенс, но как функция, а не как число. То есть использовать тангенс в минус первой степени, и тем более без аргумента, здесь нельзя. Функция $%1/tg x$% -- котангенс, а не арктангенс.

(23 Дек '13 4:36) falcao

если получить числить и знаменатель, то получится -(x^2)/(arctgx(1+x^2)) ? Если да,что я все равно не понимаю, откуда берется -2/п

(23 Дек '13 4:48) Semi-Soft

@Semi-Soft: теперь всё верно, и осталось лишь обратить внимание, что $%x^2/(1+x^2)$% стремится к 1, а $%\arctan x$% стремится к $%\pi/2$% при $%x\to+\infty$%.

(23 Дек '13 4:59) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,132
×1,426
×587

задан
22 Дек '13 6:28

показан
2368 раз

обновлен
23 Дек '13 4:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru