математика - Раскрыли скобки и привели подобные. сколько слогаемых при этом получилось?

После раскрытия скобок в произведении $%f(x)=(1+x)(1+x^2)\ldots(1+x^{14})$% получится многочлен вида $%1+x+\cdots+x^{105}$%, в котором присутствуют с ненулевыми коэффициентами все промежуточные степени. Это становится очевидным, если рассмотреть процесс последовательных домножений на $%1+x^2$%, потом на $%x^3$% и так далее. Ясно, что при этом не образуется "пробелов" между степенями.

У второго сомножителя после раскрытия скобок получатся ненулевые коэффициенты при степенях с показателями, кратными 1000. Там легко указать конкретный вид коэффициентов, но в данном случае это не так важно, и многочлен можно записать как $%g(x)=1+a_1x^{1000}+a_2x^{2000}+\cdots+a_{18}x^{18000}$%.

Теперь нетрудно понять, что в произведении $%f(x)g(x)$% с ненулевыми коэффициентами пойдут все степени с показателями вида $%k+1000m$%, где $%0\le k\le105$% и $%0\le m\le18$%. Среди них нет повторений, то есть для разных пар вида $%(k,m)$% получаются разные показатели степени. Поэтому в итоге получится $%19\cdot106=2014$% слагаемых.