2
1

Решить систему: $$x^2+y^2=bx+ay-cz \\ y^2+z^2=-ax+cy+bz \\ z^2+x^2=cx-by+az$$

задан 22 Дек '13 12:18

изменен 25 Дек '13 22:52

попробуйте привести систему к виду $$A_1x^2+B_1y^2+C_1z^2=x$$ $$A_2x^2+B_2y^2+C_2z^2=y$$ $$A_3x^2+B_3y^2+C_3z^2=z$$

(22 Дек '13 19:46) trongsund

Хорошая сама по себе задача. Сейчас, к сожалению, мне ничего не написать, потому что я должен уйти на время. Если к тому моменту решения никто не приведёт, я постараюсь что-нибудь изложить.

(22 Дек '13 20:12) falcao

Я вчера посмотрел эту задачу, и у меня возник вопрос, нет ли здесь в условии каких-либо ограничений на значения переменных или параметров? Что-нибудь типа неотрицательности, например. Дело в том, что кроме нулевого решения здесь есть решение $%a=y+z$%, $%b=z+x$%, $%c=x+y$%, но в общем случае могут быть ещё решения, анализ которых приводит к уравнению $%x^3+y^3+z^3+xyz=0$%. Учёт и описание всех таких решений, включая "побочные" -- вещь достаточно сложная. Поэтому я и захотел уточнить формулировку задачи.

(23 Дек '13 15:31) falcao

Нет, я написала условие таким какое оно есть. А каким методом вы решаете? Мне дали указание, что надо вычитать и складывать сами уравнения.. Правда, я не очень то понимаю как решать

(23 Дек '13 15:49) Amalia

Здесь не очень важен сам принцип. Можно решать даже при помощи общих формул линейной алгебры. Там всё в итоге приходит к одному и тому же результату. Решать можно, выражая $%a$%, $%b$%, $%c$% через $%x$%, $%y$%, $%z$%, а не наоборот: тогда это просто система линейных уравнений. Проблема в том, что в каких-то особых случаях описание начинает выглядеть слишком сложно.

(23 Дек '13 16:07) falcao

А вам не сложно показать, как нужно выражать через параметры, покажите пожалуйста, если несложно

(23 Дек '13 16:09) Amalia

@Amalia: я собирался более подробно написать по поводу решения этой задачи, но пока кое-что не додумано до конца для тех особых случаев, которые были отмечены выше.

Общие формулы для решения систем даёт т.н. правило Крамера. Здесь я его приводить не буду, потому что оно описано в литературе, а формулы там весьма длинные и громоздкие. Можете прочитать в Википедии, как оно работает (с примерами). Из этого правила выводятся выражения для $%a,b,c$%, которые я указывал выше.

(23 Дек '13 20:58) falcao

Кстати, сюда подходят решения $%(0, 0, 0)$% и $%\left(\dfrac{-a+b+c}{2}, \dfrac{a-b+c}{2}, \dfrac{a+b-c}{2}\right)\space$% (первое видно сразу, второе можно получить, предположив, что вектор $%(x, y, z)\space$% получается из вектора $%(a, b, c)\space$% действием на него линейного оператора. Что делать дальше, надо ещё подумать

(24 Дек '13 19:02) trongsund

Ну а решать то как?

(25 Дек '13 19:30) Amalia
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Задачу можно решать в обратную сторону, то есть считать $%a$%, $%b$%, $%c$% неизвестными, а $%x$%, $%y$%, $%z$% -- параметрами, находя связь между одним и другим.

Если применить правило Крамера из линейной алгебры, то окажется следующее: при условии $$x^3+y^3+z^3+xyz\ne0$$ решение относительно $%a$%, $%b$%, $%c$% имеется в точности одно: это $%a=y+z$%, $%b=z+x$%, $%c=x+y$%. При этом сами $%x$%, $%y$%, $%z$% однозначно выражаются через $%a$%, $%b$%, $%c$% по формулам, которые здесь уже были указаны: $$x=\frac{b+c-a}2,\qquad y=\frac{c+a-b}2,\qquad z=\frac{a+b-c}2.$$

Можно воспользоваться чуть более слабым фактом: дело в том, что определитель матрицы системы равен как раз тому, что было написано выше (сумма кубов плюс произведение); если он отличен от нуля, то система имеет в точности одно решение. А тот факт, что числа $%a=y+z$%, $%b=z+x$%, $%c=x+y$% удовлетворяют условиям системы (без каких-либо ограничений) проверяется непосредственной подстановкой. Причём достаточно подставлять только в одно уравнение по причине симметричности.

По-видимому, это всё, что можно сказать по поводу данной задачи (вместе с очевидным замечанием, что $%x=y=z=0$% подходят всегда). Способ решения, не опирающийся на факты из линейной алгебры, может быть такой: выражать $%c$% из одного уравнения (например, из третьего) и подставлять в другие, то есть это метод исключения неизвестных. При этом на $%x$% придётся делить, но мы в силу симметрии можем считать, что $%x\ne0$%, так как случай решения из одних нулей уже исследован.

Можно вместо деления на $%x$% выражать $%cx$%, а подставлять уже в два уравнения, домноженные на $%x$%. Итак, получается, что $%cx=x^2+z^2+by-az$%; в первом уравнении оказывается $%x^3+xy^2=bx^2+axy-cxz=bx^2+axy-x^2z-z^3-byz+az^2$%, то есть $%x^3+xy^2+x^2z+z^3=a(xy+z^2)+b(x^2-yz)$%. Во втором уравнении, соответственно, имеем $%xy^2+xz^2-yz^2-yx^2=-a(x^2+yz)+b(xz+y^2)$%. Теперь задача свелась к решению системы из двух уравнений от двух неизвестных. Если дальше решать по тому же принципу, то после довольно громоздких преобразований получится то решение, о котором было сказано -- при условии, что сумма кубов плюс произведение не равно нулю. В принципе, даже для случая, когда это выражение обратится в ноль, общее решение можно выписать, но оно будет представлять собой бесконечное множество, зависящее от некой свободной переменной.

Теперь два слова по поводу решения системы относительно $%x$%, $%y$%, $%z$% при известных $%a$%, $%b$%, $%c$%. Можно рассмотреть такой частный случай, когда $%a=2$%, $%b=4$%, $%c=-3$%. Если есть какое-то общее описание, то оно должно существовать и для такого примера. Однако вычисления показывают, что при этом помимо "предсказуемых" решений -- типа $%(0;0;0)$%, $%(1;-1;0)$% и $%(-1/2;-5/2;9/2)$%, возникает ещё одно решение, описываемое уравнением пятой степени $%8t^5-4t^4+30t^3-31t^2+14t-21=0$% (там $%x$%, $%y$%, $%z$% неким образом выражаются через $%t$%). Корни у этого уравнения заведомо "плохие", и рассмотренный пример говорит о том, что на описание множества решений системы для общего случая вряд ли можно надеяться.

Пригодной версией задачи видится такая, где заданы какие-то ограничения на значения переменных. Например, $%a$%, $%b$%, $%c$% могут быть сторонами некоторого треугольника. Тогда "основное" решение имеет красивую форму: $%(x,y,z)=(p-a,p-b,p-c)$%. Но на какое-то исчерпывающее общее описание для всех случаев тут вряд ли можно надеяться.

ссылка

отвечен 25 Дек '13 23:22

Значит тут получаются всего три ответа(x;y;z)? А как вы думаете какой способ из нелинейной алгебры самый лучший?

(26 Дек '13 17:20) Amalia

Почему три ответа? Если $%x^3+y^3+z^3+xyz\ne0$%, то решение относительно $%a$%, $%b$%, $%c$% всего одно (оно указано). Если же заданы $%a$%, $%b$%, $%c$%, и мы ищем решения относительно $%x$%, $%y$%, $%z$%, то хорошего описания множества решений не имеется. Например, для рассмотренного частного случая решений будет четыре, а в других случаях может быть по-другому.

Смысл эта задача имеет, например, если ограничиться нахождением неотрицательных $%x$%, $%y$% и $%z$%, или как-то ещё.

Использование методов линейной алгебры позволяет применять стандартные факты. Термина "нелинейная алгебра" нет.

(26 Дек '13 17:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×111

задан
22 Дек '13 12:18

показан
877 раз

обновлен
26 Дек '13 17:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru