Дана f(x) — монотонная непрерывная функция, определённая на отрезке [0; 1], такая, что f(0) = 0, a f(1) = 7. Пусть g(x) — её обратная функция. Найдите площадь фигуры, образованной графиками функций f(x), -g(x) и отрезком, соединяющим правые концы графиков.

задан 22 Дек '13 15:59

изменен 23 Дек '13 22:56

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Этот вопрос за последнее время звучит уже в четвёртый раз. Впервые его задавали здесь. Но там полного решения не прозвучало, так как автор вопроса задачу решил сам и сверял полученный ответ. Имеет смысл поэтому сказать пару слов по поводу решения.

График обратной функции получается из графика исходной функции путём отражения от прямой $%y=x$% (биссектрисы первого координатного угла). При переходе от графика $%g(x)$% к графику $%-g(x)$% применяется отражение от прямой $%y=0$% (оси абсцисс).

Полезно нарисовать примерную картинку, взяв в качестве графика функции $%f(x)$% для начала просто отрезок. Легко видеть, что он после двух преобразований, выполненных последовательно, повернётся по часовой стрелке на 90 градусов. И для случая такого отрезка получится равнобедренный прямоугольный треугольник, квадрат стороны которого по теореме Пифагора равен $%1^2+7^2=50$%, то есть площадь равна 25.

Для случая кривой линии нетрудно видеть, что часть площади фигуры "срежется" для одного из отрезков, но она же добавится для другого отрезка. И тогда всю фигуру при помощи разрезаний и склеиваний можно "перекомпоновать" в прежний треугольник. Это значит, что площадь будет такая же.

ссылка

отвечен 22 Дек '13 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
22 Дек '13 15:59

показан
667 раз

обновлен
22 Дек '13 20:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru