|
Дана f(x) — монотонная непрерывная функция, определённая на отрезке [0; 1], такая, что f(0) = 0, a f(1) = 7. Пусть g(x) — её обратная функция. Найдите площадь фигуры, образованной графиками функций f(x), -g(x) и отрезком, соединяющим правые концы графиков. задан 22 Дек '13 15:59 
Curtis |
|
Этот вопрос за последнее время звучит уже в четвёртый раз. Впервые его задавали здесь. Но там полного решения не прозвучало, так как автор вопроса задачу решил сам и сверял полученный ответ. Имеет смысл поэтому сказать пару слов по поводу решения. График обратной функции получается из графика исходной функции путём отражения от прямой $%y=x$% (биссектрисы первого координатного угла). При переходе от графика $%g(x)$% к графику $%-g(x)$% применяется отражение от прямой $%y=0$% (оси абсцисс). Полезно нарисовать примерную картинку, взяв в качестве графика функции $%f(x)$% для начала просто отрезок. Легко видеть, что он после двух преобразований, выполненных последовательно, повернётся по часовой стрелке на 90 градусов. И для случая такого отрезка получится равнобедренный прямоугольный треугольник, квадрат стороны которого по теореме Пифагора равен $%1^2+7^2=50$%, то есть площадь равна 25. Для случая кривой линии нетрудно видеть, что часть площади фигуры "срежется" для одного из отрезков, но она же добавится для другого отрезка. И тогда всю фигуру при помощи разрезаний и склеиваний можно "перекомпоновать" в прежний треугольник. Это значит, что площадь будет такая же. отвечен 22 Дек '13 20:19 
falcao |