Как найти все простые числа p такие, что 2p+1 и 4p+1 тоже простые? Ответ понятен, единственное такое число 3, не понятно как это доказать.

ответ Надо рассмотреть случаи трёх остатков от деления на 3 для числа p. Если остаток нулевой, то p=3. Если остаток равен 1, то 2p+1 кратно 3, что невозможно. Если остаток равен 2, то 4p+1 кратно 3. (вчера)falcao

А не могли бы вы пояснить, почему именно трёх остатков и именно при делении на 3, а не на 5, к примеру?

поясните, пожалуйста, ответ

задан 22 Дек '13 17:36

изменен 23 Дек '13 23:04

Deleted's gravatar image


126

Здесь каких-либо особых хитростей нет. Бывает так, что приходится рассматривать остатки и при делении на 5. Но здесь идея достаточно прозрачная. Естественна попытка доказать, что какое-то число не простое за счёт того, что оно заведомо на что-то делится. Например, в другой задаче могло оказаться, что число чётно, и не равно 2, откуда делается вывод, что оно не простое. Но здесь числа 2p+1 и 4p+1 нечётны, и делимость на 2 не работает. Делимость на 3 рассматривается просто как следующий случай, и там всё сразу получается. А остатков от деления на $%n$% всегда $%n$%.

(22 Дек '13 17:43) falcao

А таким образом мы доказываем, что только тройка является решением этой задачи?

(22 Дек '13 17:46) Квант

@Квант: да, именно так. Поскольку все натуральные числа бывают в точности трёх видов, мы для каждого из случаев смотрим, что получается. Вот более наглядное объяснение. Если $%p$% даёт при делении на 3 в остатке 0, то оно принимает значения 3, 6, 9, ... . Простое число тут только одно -- это 3. Второй случай: $%p$% даёт в остатке 1, то есть значения равны 4, 7, 10, ... (1 исключена, так как это и не простое число, и не составное). Посмотрим на числа $2p+1$%: это 9, 15, 21, ... -- простых тут нет. Наконец, для третьего случая p = 2, 5, 8, ... значения 4p+1 равны 9, 21, 33, ... кратны 3.

(23 Дек '13 4:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,144

задан
22 Дек '13 17:36

показан
3280 раз

обновлен
23 Дек '13 4:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru