уравнение-с-параметром - Уравнение с параметром

Рассмотрим два случая: $%a\le0$% и $%a > 0$%. Функцию в левой части равенства обозначим через $%f(x)$%.

1) $%a\le0$%. Здесь $%|x-a|=x-a$% при $%x\ge a$%. Далее $%3x-|x-a|=2x+a$%. Если $%x\ge-a/2$%, то $%|2x+a|=2x+a$%, и $%f(x)=2x-a$%. При $%x < -a/2$% имеем $%f(x)=6x+a$%. Если $%x < a$%, то $%|x-a|=a-x$%, и $%3x-|x-a|=4x-a$%. Ясно, что $%x < a\le a/4$%, откуда $%f(x)=4x-(a-4x)=8x-a$%.

Теперь можно схематично изобразить график функции $%f(x)$%. Рисуем на числовой прямой три точки $%a < -a/2$% (при $%a=0$% они совпадают, но это не будет влиять), и на каждом из трёх промежутков изображаем части графиков следующих линейных функций: $%8x-a$%; $%6x+a$%; $%2x-a$%. Здесь "изломы" графиков будут наблюдаться в точках $%(a;7a)$% и $%(-a/2;-2a)$%. График разделяет плоскость на две части: верхнюю и нижнюю.

Теперь представим себе график функции $%y=9|x-1|$% из правой части равенства. Он имеет форму "угла", то есть состоит из двух лучей. Вершина угла имеет координаты $%(1;0)$%.Она находится ниже графика функции $%f(x)$%, если она на оси абсцисс расположена правее точки пересечения "средней" части графика с осью абсцисс, а этой точкой будет такое $%x$%, для которой $%6x+a=0$%, то есть $%x=-a/6$%. Это значит, что при $%a > -6$% оба луча пересекут график функции $%f(x)$%, причём в разных точках. То есть у уравнения будет по крайней мере два решения (на самом деле, в точности два). Случай $%a=0$% сюда тоже входит.

Значение $%a=-6$% нам подходит, так как в этом случае только $%x=1$% будет решением. При $%a < -6$% решений нет, что ясно из сравнений угловых коэффициентов прямых.

2) $%a > 0$%. Здесь при $%x\ge a$% снова имеем $%|x-a|=x-a$%, и тогда $%3x-|x-a|=2x+a$%. Ясно, что на этом промежутке такая величина будет положительной, то есть $%f(x)=2x-a$%. Пусть теперь $%x < a$%. Тогда $%3x-|x-a|=4x-a$%, и надо отдельно рассмотреть случаи $%x\ge a/4$% и $%x < a/4$%. В первом из них $%f(x)=a$%, во втором $%f(x)=8x-a$%. Как и для пункта 1), строим график функции $%f(x)$%. Промежутки здесь задаются точками $%a/4 < a$%, и их имеется три. На них строятся графики линейных функций по формулам $%8x-a$%; $%a$%; $%2x-a$% соответственно. Точки "изломов" имеют координаты $%(a/4;a)$% и $%(a;a)$%. Как и в пункте 1, график делит плоскость на две части.

Далее сравниваем график функции $%f(x)$% с графиком всё той же функции $%9|x-1|$%. Замечаем, что точка $%(1;0)$% по-прежнему не может лежать строго ниже графика $%f(x)$%. Рассмотрим ту часть графика функции $%f(x)$%, которая задаётся формулой $%8x-a$%. Она пересекает ось абсцисс в точке $%(a/8;0)$%. Точка $%(1;0)$% не может лежать правее неё по оси $%Ox$%, так как это нижняя часть плоскости. Значит, $%a\ge8$%. И теперь из геометрических соображений легко видеть, что при $%a=8$% получается одно и только одно решение $%x=1$%, а при $%a > 8$% решений у уравнения вообще нет, так как оба луча графика функции $%9|x-1|$% идут строго выше графика функции $%f(x)$%. Здесь играет роль то, что $%9$% -- наибольший из всех угловых коэффициентов.

Итого $%a=-6$% или $%a=8$%.