найти такие a, при которых уравнение имеет единственное решение 4x - |3x - |x - a|| = 9|x - 1| будьте добры, скажите, как решать? а то даже не знаю, с чего начать.

задан 22 Дек '13 18:37

Довольно известная задача, возможно даже здесь есть(правда не нашел)

(22 Дек '13 19:06) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим два случая: $%a\le0$% и $%a > 0$%. Функцию в левой части равенства обозначим через $%f(x)$%.

1) $%a\le0$%. Здесь $%|x-a|=x-a$% при $%x\ge a$%. Далее $%3x-|x-a|=2x+a$%. Если $%x\ge-a/2$%, то $%|2x+a|=2x+a$%, и $%f(x)=2x-a$%. При $%x < -a/2$% имеем $%f(x)=6x+a$%. Если $%x < a$%, то $%|x-a|=a-x$%, и $%3x-|x-a|=4x-a$%. Ясно, что $%x < a\le a/4$%, откуда $%f(x)=4x-(a-4x)=8x-a$%.

Теперь можно схематично изобразить график функции $%f(x)$%. Рисуем на числовой прямой три точки $%a < -a/2$% (при $%a=0$% они совпадают, но это не будет влиять), и на каждом из трёх промежутков изображаем части графиков следующих линейных функций: $%8x-a$%; $%6x+a$%; $%2x-a$%. Здесь "изломы" графиков будут наблюдаться в точках $%(a;7a)$% и $%(-a/2;-2a)$%. График разделяет плоскость на две части: верхнюю и нижнюю.

Теперь представим себе график функции $%y=9|x-1|$% из правой части равенства. Он имеет форму "угла", то есть состоит из двух лучей. Вершина угла имеет координаты $%(1;0)$%.Она находится ниже графика функции $%f(x)$%, если она на оси абсцисс расположена правее точки пересечения "средней" части графика с осью абсцисс, а этой точкой будет такое $%x$%, для которой $%6x+a=0$%, то есть $%x=-a/6$%. Это значит, что при $%a > -6$% оба луча пересекут график функции $%f(x)$%, причём в разных точках. То есть у уравнения будет по крайней мере два решения (на самом деле, в точности два). Случай $%a=0$% сюда тоже входит.

Значение $%a=-6$% нам подходит, так как в этом случае только $%x=1$% будет решением. При $%a < -6$% решений нет, что ясно из сравнений угловых коэффициентов прямых.

2) $%a > 0$%. Здесь при $%x\ge a$% снова имеем $%|x-a|=x-a$%, и тогда $%3x-|x-a|=2x+a$%. Ясно, что на этом промежутке такая величина будет положительной, то есть $%f(x)=2x-a$%. Пусть теперь $%x < a$%. Тогда $%3x-|x-a|=4x-a$%, и надо отдельно рассмотреть случаи $%x\ge a/4$% и $%x < a/4$%. В первом из них $%f(x)=a$%, во втором $%f(x)=8x-a$%. Как и для пункта 1), строим график функции $%f(x)$%. Промежутки здесь задаются точками $%a/4 < a$%, и их имеется три. На них строятся графики линейных функций по формулам $%8x-a$%; $%a$%; $%2x-a$% соответственно. Точки "изломов" имеют координаты $%(a/4;a)$% и $%(a;a)$%. Как и в пункте 1, график делит плоскость на две части.

Далее сравниваем график функции $%f(x)$% с графиком всё той же функции $%9|x-1|$%. Замечаем, что точка $%(1;0)$% по-прежнему не может лежать строго ниже графика $%f(x)$%. Рассмотрим ту часть графика функции $%f(x)$%, которая задаётся формулой $%8x-a$%. Она пересекает ось абсцисс в точке $%(a/8;0)$%. Точка $%(1;0)$% не может лежать правее неё по оси $%Ox$%, так как это нижняя часть плоскости. Значит, $%a\ge8$%. И теперь из геометрических соображений легко видеть, что при $%a=8$% получается одно и только одно решение $%x=1$%, а при $%a > 8$% решений у уравнения вообще нет, так как оба луча графика функции $%9|x-1|$% идут строго выше графика функции $%f(x)$%. Здесь играет роль то, что $%9$% -- наибольший из всех угловых коэффициентов.

Итого $%a=-6$% или $%a=8$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '13 19:55

изменен 23 Дек '13 2:14

1

Невнимательно посмотрел: известная задача с х+а в модуле. Возможно автор ошибся в условии, хотя почему и не быть такой задачи

(22 Дек '13 20:13) epimkin

@epimkin: тут замена мало влияет в том смысле, что $%a$% превращается в $%-a$%. То есть отдельное решение не нужно. Так или иначе, спасибо за "розыски".

(22 Дек '13 20:20) falcao

В той задаче ответ несколько другой от минус 8 до 6 , все включительно.

(22 Дек '13 20:41) epimkin

Извините и еще раз ошибся. Там " хотя бы одно решение"

(22 Дек '13 20:53) epimkin

вообще условия брал с рукописно сделанной записи, может и налажал чего изначально. мне это не для сдачи, интересно просто было как решать и как вообще подходить к подобного рода задачам. Премного благодарен за подробное решение!

(22 Дек '13 23:20) Daniel Alex...

@Daniel Alex...: я заметил у себя неточность в рассуждениях для случая, когда $%a < 0$%. Она влияет на ответ, то есть одно из значений я пропустил. Доверился схематичным графикам и не проверил как следует аналитическим способом, потому что срочно должен был убегать. Сейчас внесу исправления.

@epimkin: для случая, когда решение хотя бы одно, там гораздо больше значений получается. Интересно было бы сверить условия более тщательно -- может, там какие-то ещё разночтения имеются?

(23 Дек '13 2:06) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×228

задан
22 Дек '13 18:37

показан
360 раз

обновлен
23 Дек '13 2:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru